對偶範數

對偶範數數學泛函分析里的概念。考慮一個賦范向量空間對偶空間時,常常需要給對偶空間賦以合適的幾何架構。對偶範數是一種自然的賦范方式。

定義

對偶空間

給定一個係數 賦范向量空間(比如說一個巴拿赫空間E(其中 通常是實數 或複數域 ),所有從E 上的連續線性映射(也稱為連續線性泛函)的集合稱為E的(連續)對偶空間,記作:E' .

對偶範數

可以證明,E′是一個向量空間。其上可以裝備不同的範數。對偶範數( )是一種自然的範數定義方式,定義為:

 

由於E′中的元素的是連續線性泛函,所以按照以上定義的範數必然存在,是一個有限正實數。引進了對偶範數後,E′成為一個賦范線性空間。可以證明,E′在對偶範數下必然是完備的,所以E′是巴拿赫空間。

證明

給定一個由E′中元素構成的柯西序列 ,其中每一個 都是E-線性泛函。由柯西序列的定義可知,

  使得 

所以對E中任何元素x,都有:

 

這說明 是柯西數列,因而收斂:數列的極限存在。定義函數 如下:

 

這樣定義的函數f 是連續線性泛函,屬於E′。事實上:

  1. f 是線性映射:
     
     
  2. f 是連續映射:
     定為1,則存在 ,使得 ,都有 ,這說明:
      因此,  都有 
     趨向無窮大時,就有: 。這說明f 是連續映射。

最後證明f 是序列 在對偶範數下的極限:

給定 ,總能找到 ,使得:
  所以, 
 
 趨向無窮大時,就有: 
因此, 

這說明序列 在對偶範數下收斂到f。所以E′是完備空間。

例子

給定兩個大於1的實數pq。如果兩者滿足: ,那麼序列空間  互相是對偶空間(在同構的意義上)。 裝備的是序列p-範數之時,它的對偶空間裝備的對偶範數可以和裝備了序列q-範數的 建立等距同構。當 時,以上性質說明, 和自身對偶。

參見

參考來源