守恆量

在古典力學裏，對於一個動力系統，隨著時間的演進，所有保持不變的物理量都稱為守恆量（conserved quantity），又稱為運動常數。由於很多物理定律會表達某種守恆行為，對應的守恆量時常會出現於真實系統。例如，假設在某系統內涉及的作用力是保守力，則此系統的能量是守恆量。假設涉及的作用力是連心力，則此系統的角動量是守恆量。

動量

根據動量守恆定律，假若一個粒子所感受到的外力，其總向量和為零，則這粒子的動量保持不變，是一個守恆量。在這狀況下，粒子會呈等速運動或著靜止不變。以方程式表達，假設粒子感受到的淨外力為零：

$\mathbf {F} =0$ 。

根據牛頓第二定律，淨外力與動量 $\mathbf {p}$ 的關係式為

$\mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}$ 。

所以，動量是一個常數，是一個守恆量。

角動量

根據角動量守恆定律，假若一個粒子所感受到的外力矩，其其總向量和為零，則這粒子的角動量保持不變，是一個守恆量。在這狀況下，粒子會呈勻角運動或直線運動。以方程式表達，假設粒子感受到的淨外力矩 ${\boldsymbol {\tau }}$ 為零：

${\boldsymbol {\tau }}=0$ 。

淨外力矩與角動量 ${\boldsymbol {\ell }}$ 的關係式為

${\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}{\mathrm {d} t}}$ 。

所以，角動量是一個常數，是一個守恆量。

能量

在古典力學裏，粒子的能量定義為動能與位能的代數和。根據能量守恆定律，假若一個粒子所感受到的外力都是保守力，則這粒子的能量保持不變，是一個守恆量。以方程式表達，能量 $E$ 為動能 $T$ 與位能 $V$ 的代數和

$E=T+V$ 。

粒子的動能與運動速度 $\mathbf {v}$ 的關係為

$T=mv^{2}/2$ ；

其中，$m$ 是粒子的質量。

而對於保守系統，位能與淨保守力 $\mathbf {F}$ 的關係為

$\mathbf {F} =-\nabla V$ ；

能量對於時間的導數為

${\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}=m\mathbf {v} \cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla V=\mathbf {v} \cdot (m\mathbf {a} -\mathbf {F} )=0$ 。

所以，能量是一個常數，是一個守恆量。

能量函數

思考一個物理系統，其拉格朗日量是動能 $T$ 與位能 $V$ 的差值：

${\mathcal {L}}=T-V$ 。

通常，動能的參數為廣義速度 ${\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},\dots ,{\dot {q}}_{N}$ （符號上方的點號表示對於時間 $t$ 的全導數），而位能的參數為廣義坐標 $q_{1},q_{2},q_{3},\dots ,q_{N};t$ ，所以，拉格朗日量的參數為 $q_{1},q_{2},q_{3},\dots ,q_{N};{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},\dots ,{\dot {q}}_{N};t$ 。

這物理系統的運動軌道，以拉格朗日方程式表示為

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}=0$；

其中，$t$ 是時間。

拉格朗日量對於時間的全導數為

${\frac {d{\mathcal {L}}}{dt}}=\sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+\sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\ddot {q}}_{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}$ 。

將拉格朗日方程式代入，可以得到

${\begin{aligned}{\frac {d{\mathcal {L}}}{dt}}&=\sum _{i}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right){\dot {q}}_{i}+\sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\ddot {q}}_{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\\&=\sum _{i}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\\\end{aligned}}$。

定義「能量函數」 ${\mathit {h}}(q_{1},q_{2},q_{3},\dots ;{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},\dots ;t)$ 為

${\mathit {h}}\ {\stackrel {def}{=}}\ \sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}-{\mathcal {L}}$ ，

則能量函數與拉格朗日量的關係為

${\frac {d{\mathit {h}}}{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}$ 。

假若拉格朗日量顯性地與時間無關，${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}=0$ ，${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}(q_{1},q_{2},q_{3},\dots ,q_{N};{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},\dots ,{\dot {q}}_{N})$ ，則能量函數是一個常數，是一個守恆量。設定 ${\mathit {h}}=E$ ，這常數 $E$ 可以稱為這物理系統的能量。因此，這物理系統的能量守恆。

參閱

• 李亞普諾夫函數
• 哈密頓系統
• 守恆定律