雙曲線

平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线

數學中,雙曲線(英語:hyperbola希臘語ὑπερβολή,意思是超過、超出)是定義為平面交截直角圓錐面的兩半的一類圓錐曲線

它還可以定義為與兩個固定的點(稱為焦點)的距離差是常數的點的軌跡。這個固定的距離差是的兩倍,這裡的是從雙曲線的中心到雙曲線最近的分支的頂點的距離。還稱為雙曲線的半貫軸。焦點位於貫軸上,它們的中間點稱為中心。

從代數上說,雙曲線是在笛卡兒平面上由如下方程式定義的曲線

使得,這裡的所有係數都是實數,並存在定義在雙曲線上的點對的多於一個的解。

在笛卡兒坐標平面上,兩個互為倒數的變量的圖像是雙曲線。

定義

 
共軛單位直角雙曲線

上面已經列出:

  • 平面切直角圓錐面的兩半的交截線。
  • 與兩個固定點(稱為焦點)距離差為常數的點的軌跡
  • 到一個焦點的距離和到一條直線(稱為準線)的距離的比例是大於 的常數的點的軌跡。這個常數稱為雙曲線的離心率

雙曲線由分開兩個焦點的兩個分離的稱為臂或分支的曲線構成。隨著到焦點的距離的變大,雙曲線就越逼近稱為漸近線的兩條線。漸近線交叉於雙曲線的中點,並對於東西開口的雙曲線有斜率 ,對於北南開口的雙曲線有斜率 

雙曲線有個性質,出自一個焦點的射線反射於雙曲線後看起來像是出自另一個焦點。

雙曲線的一個特殊情況是「等軸」或「直角」雙曲線,它的漸近線交於直角。以坐標軸作為漸近線的直角雙曲線由方程式 給出,這裡的 是常數。

如果對雙曲線方程式交換  ,得到它的共軛雙曲線。共軛雙曲線有同樣的漸近線。

笛卡兒坐標

中心位於 的左右開口的雙曲線:

 

中心位於 的上下開口的雙曲線:

 

貫軸貫穿雙曲線的中心並交雙曲線兩臂於它們的頂點。焦點位於雙曲線貫軸的延長線上。共軛軸貫穿雙曲線中點並垂直於貫軸。

在兩個公式中, 半貫軸(在雙曲線兩臂之間沿著貫軸測量的距離),而 半共軛軸

如果用雙曲線的兩個頂點的切線交漸近線形成一個矩形,在切線上的兩邊的長度是 ,平行於貫軸的兩邊的長度是 ,注意 可以大於 

如果計算從雙曲線上任意準線上的點到每個焦點的距離,這兩個距離的差的絕對值總是 

 
直角雙曲線 的圖像。

離心率給出自:

 

左右開口的雙曲線的焦點是: ,其中c給出自 

上下開口的雙曲線的焦點是: ,其中c給出自 

等軸雙曲線

等軸雙曲線的貫軸與共軛軸長相等,即  ,此時漸近線方程式為 (無論焦點在 軸還是 軸)。

單位雙曲線屬於等軸雙曲線,且半貫軸和半共軛軸的長均為 ,即 ,滿足方程式:

  

對於以直線 和直線 為漸近線的直角雙曲線:

 

這種雙曲線最簡單的例子是:

 

共軛雙曲線

當雙曲線 的貫軸是雙曲線 的共軛軸,且雙曲線 的共軛軸是雙曲線 的貫軸時,稱雙曲線 與雙曲線 為共軛雙曲線。若 的方程式為

 

 的方程式為

 

其特點為:

  1. 共漸近線,與漸近線平行的直線和雙曲線有且只有一個交點。
  2. 焦距相等。
  3. 兩雙曲線的離心率平方後的倒數相加等於 

極坐標

左右開口的雙曲線:

 

上下開口的雙曲線:

 

上右下左開口的雙曲線:

 

上左下右開口的雙曲線:

 

在所有公式中,中心在極點,而 是半貫軸和半共軛軸。

雙曲線的參數方程式

如同正弦和餘弦函數給出橢圓參數方程式雙曲函數給出雙曲線的參數方程式。 左右開口的雙曲線:

 

 

上下開口的雙曲線:

 

 

在所有公式中, 是雙曲線的中點, 是半貫軸而 是半共軛軸。

雙曲線的標準方程式

焦點在 軸: 

焦點在 軸: 

雙曲線的漸近線方程式

焦線平行於 軸: 

焦線平行於 軸: 

圓錐曲線方程式

 

 時,表示雙曲線。其中 為焦點到準線距離, 為弦與 軸夾角。

參考文獻

外部連結

參見