偏序關係

偏序集合(英語:Partially ordered set,簡寫Poset)是數學中,特別是序理論中,指配備了偏序關係集合。 這個理論將對集合的元素進行排序、順序或排列等直覺概念抽象化。這種排序不必是全部的,就是說不需要保證此集合內的所有物件的相互可比較性。偏序空間英語Partially ordered space是具有偏序的拓撲空間

{x,y,z}的子集的集合按包含排序的哈斯圖

定義

非嚴格偏序,自反偏序

給定集合S,「≤」是S上的二元關係,若「≤」滿足:

  1. 自反性:∀a∈S,有a≤a;
  2. 反對稱性:∀a,b∈S,a≤b且b≤a,則a=b;
  3. 遞移性:∀a,b,c∈S,a≤b且b≤c,則a≤c;

則稱「≤」是S上的非嚴格偏序自反偏序

嚴格偏序,反自反偏序

給定集合S,「<」是S上的二元關係,若「<」滿足:

  1. 反自反性:∀a∈S,有a≮a;
  2. 反對稱性:∀a,b∈S,a<b ⇒ b≮a;
  3. 遞移性:∀a,b,c∈S,a<b且b<c,則a<c;

則稱「<」是S上的嚴格偏序反自反偏序

嚴格偏序與有向無環圖(DAG)有直接的對應關係。一個集合上的嚴格偏序的關係圖就是一個有向無環圖。其遞移閉包是它自己。

偏序

容易證明以下結論:

  • 給定集合S上的一個(非嚴格,自反)偏序「≤」,則可自然地誘導出S上的一個(嚴格,反自反)偏序「<」,只需如此定義:a < b,如果 a ≤ b 且 a ≠ b。
  • 給定集合S上的一個(嚴格,反自反)偏序「<」,則可自然地誘導出S上的一個(非嚴格,自反)偏序「≤」,只需如此定義:a ≤ b,如果 a < b 或 a = b。
  • 給定集合S上的一個(非嚴格,自反)偏序「≤」,其逆關係「≥」也是S上的一個(非嚴格,自反)偏序;
  • 給定集合S上的一個(嚴格,反自反)偏序「<」,其逆關係「>」也是S上的一個(嚴格,反自反)偏序;

由上述可知,只要定義了「≤」、「<」、「≥」、「>」中的任何一個,其餘三個關係的定義可以自然誘導而出,這四種關係實際上可以看成一體。故此在不嚴格區分的情況下,只需定義其一即可(通常是「≤」),稱之為集合S上的偏序關係。(「偏序關係」通常被用來稱呼非嚴格偏序關係。)

  • (非嚴格,自反)偏序和(嚴格,反自反)偏序之間的對應關係不同於在(非嚴格)弱序嚴格弱序直接的對應(逆關係補集)。只有對於全序這些對應才是相同的。

偏序集與序對偶

若集合S上定義了一個偏序,則S稱為偏序集poset);若將其上的偏序關係改為其逆關係,得到的新偏序集S'稱為S的序對偶

雖然通常術語「有序集」用來稱呼全序集,但當上下文中不涉及其他序關係時,「有序集」也可用於稱呼偏序集。

完全性

例子

下面是一些主要的例子:

  • 整數的集合配備了它的自然次序。這個偏序是全序。
  • 自然數的集合的有限子集{1, 2, ..., n}。這個偏序是全序。
  • 自然數的集合配備了整除關係。

一般的說偏序集合的兩個元素xy可以處於四個相互排斥的關聯中任何一個:要麼x < y,要麼x = y,要麼x > y,要麼xy是「不可比較」的(三個都不是)。全序集合是用規則排除第四種可能的集合:所有元素對都是可比較的,並且聲稱三一律成立。自然數整數有理數實數都關於它們代數(有符號)大小是全序的,而複數不是。這不是說複數不能全序排序;比如我們可以按詞典次序排序它們,通過x+iy < u+iv若且唯若x < u或(x = uy < v),但是這種排序沒有合理的大小意義因為它使得1大於100i。按絕對大小排序它們產生在其中所有對都是可比較的預序,但這不是偏序因為1和i有相同的絕對大小但卻不相等,違反了反對稱性。

線性擴展

全序T是偏序P線性擴展,只要xyP中成立則xyT中也成立。在計算機科學中,找到偏序的線性擴展的算法叫做拓撲排序

參見

引用

  • J. V. Deshpande, On Continuity of a Partial Order, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 19, No. 2, 1968, pp. 383-386