設 ( A , ≤ ) {\displaystyle (A,\leq )} 為一個偏序集,若存在 y ∈ A {\displaystyle y\in A} ,能滿足 ∀ x ∈ B ⊆ A {\displaystyle \forall x\in B\subseteq A} 都有 x ≤ y {\displaystyle x\leq y} ,則 y {\displaystyle y} 稱作集合 B {\displaystyle B} 的上界,若存在 z ∈ A {\displaystyle z\in A} ,能滿足 ∀ x ∈ B ⊆ A {\displaystyle \forall x\in B\subseteq A} 都有 x ≥ z {\displaystyle x\geq z} ,則 z {\displaystyle z} 稱作 B {\displaystyle B} 的下界。
例如在實變數中,若存在一個實數 b {\displaystyle b} ,能滿足 ∀ x ∈ S ⊆ R {\displaystyle \forall x\in S\subseteq R} 都有 x ≤ b {\displaystyle x\leq b} ,則 b {\displaystyle b} 即為集合 S {\displaystyle S} 的上界,若存在一個實數 c {\displaystyle c} ,能滿足 ∀ x ∈ S ⊆ R {\displaystyle \forall x\in S\subseteq R} 都有 x ≥ c {\displaystyle x\geq c} ,則 c {\displaystyle c} 即為集合 S {\displaystyle S} 的下界。
連續性公理:在非空實數集中,若含上界,則必含最小上界(上確界);若含下界,則必存在最大下界(下確界)。[1]