双极圆柱坐标系

双极圆柱坐标系(英语:Bipolar cylindrical coordinates)是一种三维正交坐标系。往 z-轴方向延伸二维的双极坐标系 ,则可得到双极圆柱坐标系。双极坐标系的两个焦点 ,其直角坐标 分别设定为 。延伸至三维空间,这两个焦点分别变成两条直线, ,称为焦线

双极坐标系绘图。图中的红色圆圈是 -等值曲线,蓝色圆圈则是 -等值曲线。

基本定义

双极圆柱坐标   通常定义为

 
 
 

其中,点    坐标等于   的弧度,  坐标等于    的比例的自然对数

 

注意到焦线    的坐标分别为   

坐标曲面

 
双极坐标的几何诠释。    的夹角   的弧度是     的比例的自然对数    的等值曲线都是圆圈,分别以红色与蓝色表示。两条等值曲线以直角相交(以洋红色表示)。

不同  坐标曲面是一组不同圆心线,而相交于两个焦线    的圆柱面:

 

它们的圆心线都包含于 yz-平面。正值   的圆柱面的圆心线都在   半空间;而负值   的圆柱面的圆心线则在   半空间。当绝对值   增加时,圆半径会减小,圆心线会靠近原点。当圆心线包含原点时,  达到最大值  

不同  坐标曲面是一组围着焦线,互不相交,不同半径的圆柱面。半径为

 

它们的圆心线都包含于 xz-平面。正值   的圆柱面在   半空间;而负值   的圆柱面在   半空间。   平面则与 yz-平面同平面。当   值增加时,圆柱面的半径会减少,圆心线会靠近焦点。

逆变换

 
 

双极圆柱坐标   可以用直角坐标   来表示。点 P 与两个焦线之间的距离是

 
 

    的比例的自然对数

 

  是两条从点 P 到两个焦点的线段    的夹角。这夹角的弧度是   。用余弦定理来计算:

 

z-坐标的公式不变:

 

标度因子

双极圆柱坐标    的标度因子相等;而   的标度因子是 1 :

 
 

所以,无穷小体积元素等于

 

拉普拉斯算子

 

其它微分算子,例如    ,都可以用双极圆柱坐标表达,只需要将标度因子代入正交坐标系的一般方程式内。

应用

双极圆柱坐标有一个经典的应用,这是在解析像拉普拉斯方程亥姆霍兹方程这类的偏微分方程式。在这些方程式里,双极圆柱坐标允许分离变数法的使用。一个典型的例题是,有两个互相平行的圆柱导体,请问其周围的电场为什么?应用双极圆柱坐标,我们可以精致地分析这例题。

参阅

参考文献

  • Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: pp. 187–190. 
  • Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 182. ASIN B0000CKZX7. 
  • Moon P, Spencer DE. Conical Coordinates (r, θ, λ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer-Verlag. 1988: unknown. ISBN 978-0387184302.