自守形式

数学上所谓的自守形式(英语:Automorphic form),是一类特别的复变数函数,并在某个离散变换群下满足由自守因子描述之变换规律。模形式马斯形式是其特例。由自守形式可定义自守表示,严格言之,自守表示并非寻常意义下的群表示,而是整体赫克代数上的模。

庞加莱在1880年代曾研究过自守形式,他称之为富克斯函数郎兰兹纲领探讨自守表示与数论的深入联系。

古典定义

  为作用于复区域   的离散群。取定自守因子    。相应的权   自守形式  上满足下述函数方程全纯函数

 

自守因子    固定时是   上的全纯函数,并且是   上的 1-闭上链

定义中的复值函数   可推广成取值为矩阵的函数;权   的限制亦可放松,例如半整数  

群上的定义

自守形式另有群表示理论的诠释,并牵涉数论,但无法完全涵摄古典定义。为简单起见,以下设  ,其中心可等同于  

考虑整体域  (例如  ),由此定义  阿代尔点  ,赋予相应的拓扑结构,并取定标准的紧子群  

固定一拟特征  。以  中心特征的自守形式定为   上满足下列条件的复值函数  

  1.   光滑:若  函数域,这代表   是局部常数函数。否则意谓存在一组  开覆盖  ,对每个   ,而   无穷可微。
  2. 对任何  及任何  ,总有  
  3.   -有限:函数   张成有限维向量空间。
  4. 承上,设  泛包络代数   之中心,则   -有限。
  5. 缓增性:固定适当的高度函数  (取法不影响定义),存在常数    使得  

注记.  阿基米德赋值,条件二中张出的空间在李代数   的作用   下不变。条件三蕴含自守形式对阿基米德赋值是解析函数

若对所有   皆有

 

则称  尖点形式

自守表示

定义   为中心特征为   的自守形式集,子空间   则为尖点形式集。

这两个空间是有限阿代尔群   的表示;对阿基米德赋值则带有  -模结构。此套结构可以概括为整体赫克代数   的表示。注意:它们并非   的表示!

一个自守表示 -模  子商  称作该自守表示的中心拟特征。尖点自守表示  之子空间。

参考文献