算术基本定理

算术基本定理,又称为正整数的唯一分解定理,即:每个大于1的自然数,要么本身就是质数,要么可以写为2个或以上的质数的,而且这些质因子按大小排列之后,写法仅有一种方式。

例如:

算术基本定理的内容由两部分构成:

  • 分解的存在性:
  • 分解的唯一性,即若不考虑排列的顺序,正整数分解为素数乘积的方式是唯一的。

算术基本定理是初等数论中一个基本的定理,也是许多其他定理的逻辑支撑点和出发点。

定理陈述

 . 其中   而且   是一个质数 .

这种表示的方法存在,而且是唯一的。

证明

算术基本定理的最早证明是由欧几里得给出的。准确的说,欧几里得证明了在一般整环上看与算术基本定理等价的命题:若质数 ,则不是  ,就是 。然而,在欧几里得的时代,并没有发展出幂运算和指数的写法,甚至连四个整数的乘积这种算式都被认为是没有意义的,所以欧几里得并没有给出算术基本定理的现代陈述。

存在性

反证法:假设存在大于   的自然数不能写成质数的乘积,把最小的那个称为  

  不可为质数,因为   可被写成质数的乘积。因此   一定是合数,但每个合数都可以分解成两个严格小于自身而大于   的自然数的积。设   ,则根据假设,由于   是最小的不能被写成质数乘积的自然数,所以    都能被写成质数的乘积。然而   也可以写成质数的乘积,由此产生矛盾,故大于   的自然数必可写成质数的乘积。

唯一性

欧几里得引理:若质数 ,则不是  ,就是 

引理的证明:若  则证明完毕。若 ,那么两者的最大公约数为1。根据贝祖等式,存在  使得 。于是 。 由于 ,上式右边两项都可以被p整除。所以 

再用反证法:假设有些大于1的自然数可以以多于一种的方式写成多个质数的乘积,那么假设 是其中最小的一个。

首先 不是质数。将 用两种方法写出:  。根据引理,质数  ,所以  中有一个能被 整除,不妨设为 。但 也是质数,因此  。所以,比 小的正整数 也可以写成  。这与  的最小性矛盾!

因此唯一性得证。

相关

在一般的数域中,并不存在相应的定理;事实上,在虚二次域   之中,只有少数几个能满足,最大的一个   。例如, 可以以两种方式在   中表成整数乘积:  。同样的,在分圆整数中一般也不存在唯一分解性,而这恰恰是人们在证明费马大定理时所遇到的陷阱之一。

欧几里得在普通整数   中证明了算术基本定理──每个整数可唯一地分解为素数的乘积,高斯则在复整数   中得出并证明,只要不计四个可逆元素   之作用,那么这个唯一分解定理在   也成立。高斯还指出,包括费马大定理在内的普通素数的许多定理都可能扩大到复数域。

高斯类数

对于二次方程: ,它的根可以表示为:  

因为负数不能开平方, 的符号就很重要,如果为正,有两个根;如果为0,只有一个根;如果为负,没有实根。欧拉的素数公式:    两个复数解为:  

 哪个 值可以得到唯一分解定理?  皆可得到定理,但当 时不能。因为在这个数系中6这个数有两种形式的因子分解(分解至不可分约的情形)。   。在高斯时代,已知有9个 使得 所产生的数有唯一因子分解(  如上面指出那样取值)。  高斯认为 的数量不会超过10个,但是没有人能够证明。 1952年,业余数学家,退休的瑞士工程师库尔特·黑格纳英语Kurt Heegner(Kurt Heegner)发表了他的证明,声称第10个高斯类数不存在。但是没有人相信他。世界又等待了15年之后才知道这个定理:麻省理工学院的斯塔克(Harold Stark)和剑桥大学的阿兰贝克(AlanBaker)独立用不同方法证明了第10个 值不存在。两个人重新检查了希格内尔的工作,发现他的证明是正确的。 为了纪念长期被忽视的希格内尔,上述的9个数被称为黑格纳数,一些曲线上的点被命名为希格内尔点。 参见《数学新的黄金时代》和其它数学书籍。

外部链接