简单函数

简单函数（英语：simple function）又称单纯函数，是实分析中只取有限个实值的可测函数。

定义

集合 $\Omega$ 上有Σ-代数 $\Sigma$ ，若对函数 $f:\Omega \to \mathbb {R}$ ，存在 $A_{1},\,A_{2},\cdots ,A_{n}\in \Sigma$ 和 $a_{1},\,a_{2},\cdots ,a_{n}\in \mathbb {R}$，使得：

$f(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\mathbf {1} }_{A_{k}}(x).$

其中 ${\mathbf {1} }_{A}$ 代表集合 $A$ 的指示函数，即：

${\mathbf {1} }_{A}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{if }}x\in A\\0,&{\mbox{if }}x\not \in A\end{matrix}}\right.$

则 $f$ 称为简单函数，也就是说，简单函数是可测集合（即 $\Sigma$ 的元素）的指示函数的有限线性组合。

范例

• 半开区间[1,9)上的取整函数，它唯一的值是{1,2,3,4,5,6,7,8}。
• 实直线上的狄利克雷函数，如果x是有理数，则函数的值为1，否则为0。

性质

根据定义，两个简单函数的和、差与积，以及一个简单函数与常数的积也是简单函数，因此可推出所有简单函数在复数域上形成了一个交换代数。

定理 — 集合 $\Omega$ 上有Σ-代数 $\Sigma$ ，任何非负，在 $\Sigma$ 上可测的 $f:\Omega \to [0,\,\infty )$ 都会是某递增且非负简单函数序列的逐点极限。更进一步的，若 $f$ 是有界的，则此简单函数序列是一致收敛至$f$。

证明

对每个正整数 $n\in \mathbb {N}$，把 $[0,\,\infty )$ 分成 $2^{2n}+1$个区间，也就是取

$I_{n,k}=\left[k2^{-n},\,(k+1)2^{-n}\right)$ ，对于 $k=0,1,\ldots ,2^{2n}-1$。

以及

$I_{n,2^{2n}}=[2^{n},\infty )$

然后定义可测集合

$A_{n,k}=f^{-1}(I_{n,k})$，对于 $k=0,1,\ldots ,2^{2n}$。

则可对每个正整数 $n\in \mathbb {N}$ 定义非负简单函数 $f_{n}:\Omega \to [0,\,\infty )$ 如下

$f_{n}(\omega )=\sum _{k=0}^{2^{2n}}{\frac {k}{2^{n}}}\cdot {\mathbf {1} }_{A_{n,k}}(\omega )$

也就构成了一个非负递增简单函数序列 ${\{f_{n}\}}_{n\in \mathbb {N} }$ 。

这样的话，取任意 $\omega \in \Omega$ ， 都存在正整数 $n_{\omega }\in \mathbb {N}$ 使得

$2^{n_{\omega }}>f(\omega )$

这样的话，只要 $n>n_{\omega }$ 的话，都会存在正整数 $k\in \mathbb {N}$ 使得

$k2^{-n}\leq f(\omega )<(k+1)2^{-n}$

所以有

$|f(\omega )-f_{n}(\omega )|<2^{-n}$

再考虑到，对任意正实数 $\epsilon \in (0,\,\infty )$ ，都存在正整数 $m\in \mathbb {N}$ 使得

$2^{m}\epsilon >1$

所以总结一下，对任意正实数 $\epsilon \in (0,\,\infty )$，取正整数 $n>\operatorname {max} \{m,\,n_{\omega }\}$ ，就会有

$|f(\omega )-f_{n}(\omega )|<2^{-n}<\epsilon$

所以简单函数序列 $\{f_{n}\}$ 的确会逐点收敛至 $f$。

注意到若 $f$ 是有界的，那存在一个跟点 $\omega \in \Omega$ 选取无关的正整数 $n\in \mathbb {N}$ 使得

$2^{n}>f(\omega )$

那这样的话，对任意正实数 $\epsilon \in (0,\,\infty )$，取正整数 $n^{\prime }>\operatorname {max} \{m,\,n\}$，就会得到一致收敛。$\Box$

简单函数的积分

测度 $\mu :\Sigma \to [0,\,\infty )$ 定义在 $\Omega$ 的Σ-代数 $\Sigma$ 上，若简单函数 $f:\Omega \to \mathbb {R}$ 可表达为

$f(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\mathbf {1} }_{A_{k}}(x)$

则 $f$ 于某个 $E\in \Sigma$ 上，对测度 $\mu$ 的勒贝格积分定义为：

$\int _{E}f\,d\mu :=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\mu (A_{k}\cap E)$

参考文献

• J. F. C. Kingman, S. J. Taylor. Introduction to Measure and Probability, 1966, Cambridge.
• S. Lang. Real and Functional Analysis, 1993, Springer-Verlag.
• W. Rudin. Real and Complex Analysis, 1987, McGraw-Hill.
• H. L. Royden. Real Analysis, 1968, Collier Macmillan.