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立方五角十二面体

在几何学中，立方五角十二面体（德文：Würfel-Pentagondodekaeder[2]）是一种由6个矩形和12个不等边六边形组成的十八面体，具有五角十二面体群对称性。这种立体可以透过将立方体的6个面的每个面分割成3个矩形，并且相邻面方向互相垂直的结构变形而来，其对应的球面镶嵌结构通常用于传统的排球上。[3][4]部分的矿物可以结晶成这种形状，例如部分的黄铁矿。[5]

立方五角十二面体
立方五角十二面体
类别凸多面体
名称立方五角十二面体
切稜五角十二面体 （日语）
Würfel-Pentagondodekaeder （德语）
性质
面18
边48
顶点32
欧拉特征数F=18, E=48, V=32 （χ=2）
组成与布局
面的种类6个矩形
12个不等边六边形
对称性
对称群Th, [4,3+], (3*2)[1]
特性
凸

性质

立方五角十二面体共由18个面、48条边和32个顶点组成，其具有五角十二面体群对称性，或称为Th群，这种对称性被认为与传统的排球相同[6]。在这个几何结构的18个面中，有6个矩形和12个不等边六边形。在其48条边中，有12条边等长的较长边和36条较短的等长边。其32个顶点也可以分为两种，一种为2个六边形和一个矩形的公共顶点，这种顶点有24个，其余6个为3个六边形的公共顶点。

对称性

立方五角十二面体具有五角十二面体群对称性，或称为Th群，这种对称群具有与四面体群相同的旋转对称轴以及平行于立方体面的镜射对称面[5]，并且与A4 × Z2对称性同构[6]，同时，球面化的排球也保持着这种对称性，[7][8]且皆为24阶对称性。[9]

结构

立方五角十二面体可以透过将五角十二面体的6条长边截去来构造[10]。其也可以透过将倒角立方体的正方形面拉长成矩形，并且使邻近的矩形皆朝不同的方向拉长来构造，因此立方五角十二面体的拓朴结构与倒角立方体同构。[11]

     

使用

球面化后的立方五角十二面体其六边形面可以视为球面矩形，因此整体形状可以视为6组每组3个的矩形在球面上形成的球面镶嵌[注 1]，这种立体结构通常用于排球及早期的足球[3][12]，然而现今的足球更常用的形状是球面化的截角二十面体。在晶体学中，部分的黄铁矿会形成平面的立方五角十二面体形状的结晶体[13][14]。

   

相关多面体

立方五角十二面体在晶体学中通常会被视为是立方晶体与五角十二面晶体的组合[15]，即密勒指数为{100}和{210}晶体结构的组合[16]。而在数学中立方五角十二面体可透过将五角十二面体截去其中6个棱来构造，因此在部分文献中，立方五角十二面体又称为截六棱五角十二面体（英语：Chamfered 6 pyritohedron[17]），在日语中，立方五角十二面体又称为切棱五角十二面体（切稜五角十二面体）[18]。

立方五角十二面体与倒角立方体的拓朴结构等价。立方五角十二面体可以看做是从立方体渐进形变到倒角立方体的一个中间体。 [19]同时立方五角十二面体也可以视为特殊的切棱立方体，其可以透过切角小于45度且深度大于零的方式切去立方体的棱来构造[18]。

 

立方五角十二面体可以透过将立方体6个面的每个面分割成3个矩形，并且相邻面方向互相垂直的结构变形而来，而将立方体面分割成不同数量的矩形可以形成不同的结果，例如每个面皆分割成2个矩形可以形成五角十二面体[20]。

分割数 1 2 3 4 5
图像        
球面镶嵌        
几何结构 立方体 五角十二面体 立方五角十二面体 一种球面镶嵌[21] 一种十分罕见的矿石晶形，

曾于腓特烈港发现。[22]

参见

注释

  1. ^ 一个多面体的球面镶嵌或球面多面体是指将该多面体投影到球面上所形成的几何结构。

参考文献

  1. ^ Leonard R. MacGillivray, Jerry L. Atwood. Ehud Keinan, Israel Schechter , 编. Spherical Molecular Assemblies: A Class of Hosts for the Next Millennium. Weinheim, Germany: Wiley-VCH Verlag GmbH. 2000-12-20: 130–150 [2021-09-10]. ISBN 9783527612949. doi:10.1002/9783527612949.ch09. （原始内容存档于2021-09-10） （英语）. 
  2. ^ Modelle, Kristallform Würfel-Pentagondodekaeder [Krantz 379, 380]. Gesellschaft für Universitätssammlungen e.V. [2019-11-04]. （原始内容存档于2019-10-10）. 
  3. ^ 3.0 3.1 Paul Bourke, § Volley ball (Gaelic football, Water polo, Netball), Geometry of sports balls, Paul Bourke, January 2017 [2019-10-10], （原始内容存档于2018-07-27） 
  4. ^ Karimi, Alireza and Kudo, Susumu and Razaghi, Reza and Navidbakhsh, Mahdi. Measurement of the mechanical properties of the handball, volleyball, and basketball using DIC method: a combination of experimental, constitutive, and viscoelastic models. Sport Sciences for Health (Springer). 2015, 11 (3): 295––303. 
  5. ^ 5.0 5.1 Daniel Arovas. Crystal Math (PDF). 圣地亚哥加利福尼亚大学. 2018 [2019-11-04]. （原始内容 (PDF)存档于2019-10-10）. 
  6. ^ 6.0 6.1 Sattler, K.D. Handbook of Nanophysics: Clusters and Fullerenes. Handbook of Nanophysics. CRC Press. 2010: 28.4. ISBN 9781420075557. LCCN 2009047135. 
  7. ^ Stanislav Jendrol, František Kardoš, Symmetry of fulleroids (PDF), Sep, 2010 [2019-11-04], （原始内容 (PDF)存档于2019-10-10） 
  8. ^ Bromley, S.T. and Woodley, S.M. Computational Modelling of Nanoparticles. Frontiers of Nanoscience. Elsevier Science. 2018: p.195. ISBN 9780081022757. 
  9. ^ Michael Engel, Ann Arbor, Part 1: Point symmetry, Short‐course on symmetry and crystallography, Center for Assembly Science & Engineering, University of Michigan, June, 2011 
  10. ^ William E. Ford. Cube and pyritohedron. usf.edu. 1912 [2021-08-15]. （原始内容存档于2021-08-15）. 
  11. ^ §The Chamfered Cube and the Dodecahedron, Article 47: Geometry - Platonic Solids - Part 8 - The Cube. Cosmic Core. [2019-11-06]. （原始内容存档于2019-11-06）. 
  12. ^ Swart, David; et al, Soccer Ball Symmetry, Proceedings of Bridges 2015: Mathematics, Music, Art, Architecture, Culture (Tessellations Publishing), 2015: 151––158 
  13. ^ Matthes, Siegfried. Mineralogie: Eine Einführung in die spezielle Mineralogie, Petrologie und Lagerstättenkunde. Springer Berlin Heidelberg. 2013: p.43. ISBN 9783662087695. 
  14. ^ Baur, Ludwig. Kurzes Lehrbuch der Mineralogie und Geologie. Aischines Verlag. 2015: p.62. ISBN 9783738792621. 
  15. ^ Crystal shapes. The Australian Museum. [2019-10-10]. （原始内容存档于2019-03-31）. 
  16. ^ Susanne Herting-Agthe. Pyrite, striated cubes. mineralogische-sammlungen.de. 2009 [2021-08-15]. （原始内容存档于2022-05-11）. 
  17. ^ Watchduck. Convex polyhedra, a python program to generate Convex polyhedra, polyhedron_properties.py. GitHub. 
  18. ^ 18.0 18.1 多面体木工. 特定非営利活动法人 科学协力学际センター. 2006/8/1. 
  19. ^ chamfered cube. bendwavy.org. [2019-11-04]. （原始内容存档于2021-09-30）. 
  20. ^ Koca, Nazife O and Al-Mukhaini, Aida Y and Koca, Mehmet and Al-Qanobi, Amal J. Symmetry of the pyritohedron and lattices. Sultan Qaboos University Journal for Science [SQUJS]. 2016, 21 (2): 139––149. 
  21. ^ Hyde, Stephen T. Contemporary Geometry For The Built Design?. Architectural Theory Review (Taylor & Francis). 2010, 15 (2): 110––124. 
  22. ^ Donald Peck, Alfred Ostrander. Crystallography: The Isometric System. 2019-10-20 [2019-11-06]. （原始内容存档于2019-11-06）. 
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