环 (代数)

环（英文：Ring）是一种带有两个二元运算（抽象化的“加法”和“乘法”）、并且符合特定运算规则的集合。它抽象化了诸如整数、有理数、实数、复数、多项式、矩阵、函数、算子等等的代数结构。它是环论的主要研究对象，并且是构成各种抽象代数理论的重要基本概念。

环的具体定义并没有完全统一。不同研究方向的学者对于环是否要有乘法单位元有不同见解，在部分情况下甚至不要求乘法有结合律。然而除非明确声明，否则本条目所称的“环”是指有乘法单位元、乘法有结合律的环。

定义

给定一个集合 $R$ 以及两个定义在 $R$ 上的二元运算 $+$ 和 $\times$ 。如果 $R$ 、 $+$ 和 $\times$ 具有以下八个性质，则称 $(R,+,\times )$ 构成了一个环。

1. $(R,+)$ 是一个交换群：
   • 加法有结合律——对所有的 $a,b,c\in R$ ，都有：
     $$(a+b)+c=a+(b+c)$$
   • 加法有交换律——对所有的 $a,b\in R$ ，都有：
     $$a+b=b+a$$
   • 有加法单位元——存在某个 $0_{R}\in R$ ，使得所有的 $r\in R$ ，都有：
     $$0_{R}+r=r$$
   • 有加法反元素——对所有的 $r\in R$ ，存在某个 $-r\in R$ ，使得：
     $$-r+r=0$$
2. ${\textstyle (R,\times )}$ 是一个有单位元的半群：
   • 乘法有结合律——对所有的 $a,\,b,\,c\in R$ ，都有：
     $$(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$$
   • 有乘法单位元——存在某个 $1_{R}\in R$ ，使得所有的 $r\in R$ ，都有：
     $$1_{R}\times r=r\times 1_{R}=r$$
3. 乘法对于加法满足分配律：
   • （左）分配律——对所有的 $a,\,b,\,c\in R$ ，都有：
     $$a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)$$
   • （右）分配律——对所有的 $a,\,b,\,c\in R$ ，都有：
     $$(a+b)\times c=(a\times c)+(b\times c)$$

环的乘法经常依照惯例，不会写出“ $\times$ ”这个符号。例如（左）分配律就可以写成：

$$a(b+c)=ab+ac$$

此外，加法单位元也经常称为“零元素”或直接简称为“零”。

定义的分歧

环的定义的分歧通常在于是否要求乘法单位元的存在。在 1960 年代以前，多数抽象代数的教科书通常会采用埃米·诺特的定义，不要求乘法单位元存在。然而在 1960 年后，越来越多的著名教科书作者（例如：尼古拉·布尔巴基、大卫·艾森布德、塞尔日·兰）开始将乘法单位元的存在性纳入定义中。不要求乘法单位元存在的作者，通常会将有乘法单位元的环称为单位环（ unital ring ）；反之，要求乘法单位元存在的作者，可能会将不含乘法单位元（ identity ）的环（ ring ）称为 rng 或伪环（ pseudo-ring ），或甚至干脆不提及任何没有单位元的环。

另外在交换代数的文献中，通常还会额外约定环的乘法要满足交换律。这类文献的作者通常会事先声明。

例子

• 整数 $\mathbb {Z}$ 、有理数 $\mathbb {Q}$ 、实数 $\mathbb {R}$ 和复数 $\mathbb {C}$ ，连同寻常的加法和乘法，构成了一个环。它们的加法单位元是 $0$ ，乘法单位元是 $1$ ，是最典型的实际例子。
• 整系数多项式环 $\mathbb {Z} [x]$ 、有理系数多项式环 $\mathbb {Q} [x]$ ，实系数多项式环 $\mathbb {R} [x]$ 、复系数多项式环 $\mathbb {C} [x]$ ，连同多项式加法和乘法，构成一个环。它们的加法单位元也是 $0$ ，乘法单位元也是 $1$ 。更一般地，可以考虑任何环 $R$ 的多项式环 $R[x]$ 。
• 整系数有理函数 $\mathbb {Z} (x)$ 、有理系数有理函数 $\mathbb {Q} (x)$ ，实系数有理函数 $\mathbb {R} (x)$ 、复系数有理函数 $\mathbb {C} (x)$ ，连同有理函数的加法和乘法，构成一个环。它们的加法单位元依然是 $0$ ，乘法单位元依然是 $1$ 。更一般地，可以考虑任何环 $R$ 的有理函数环 $R(x)$ ；而“建构分式”的操作还是“分式体”以及更一般的“局部化”这些概念的起源。
• 大小为 $n\times n$ 的实系数矩阵 $\mathbf {M} _{n}(\mathbb {Z} )$ 、实系数矩阵 $\mathbf {M} _{n}(\mathbb {Q} )$ 、实系数矩阵 $\mathbf {M} _{n}(\mathbb {R} )$ 、或复系数矩阵 $\mathbf {M} _{n}(\mathbb {C} )$，连同矩阵加法和矩阵乘法，构成一个环。它们的加法单位元是单位矩阵 ：
  $$\mathrm {I} _{n}:={\begin{bmatrix}1&0&\dots &0\\0&1&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &1\\\end{bmatrix}}_{n\times n}$$
  乘法单位元则是零矩阵 ：
  $$\mathbf {0} _{n}:={\begin{bmatrix}0&0&\dots &0\\0&0&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &0\\\end{bmatrix}}_{n\times n}$$
  同样的，可以考虑任何环 $R$ 的矩阵环 $\mathbf {M} _{n}(R)$ 。矩阵环也是典型的非交换环。
• 如果集合 $R$ 只有一个元素，那 $R$ 只可能定义出唯一的一种环结构——零环（ Zero ring ）。

基本性质

• 零元素是唯一的
• 零乘以任何东西都是零
• 乘法单位元是唯一的
• 任何元素如果有乘法反元素，那是唯一的
• 多个环元素的分配律：
  $$\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{m}b_{j}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}a_{i}b_{j}$$
• 环元素的整数倍与整数次方——整数可以用来当作是任何环的系数，只要定义以下的系数运算规则：
  $$na:=\underbrace {a+a+\cdots a} _{n{\text{ 次}}}\qquad (-n)a:=\underbrace {(-a)+(-a)+\cdots (-a)} _{n{\text{ 次}}}\qquad 0a:=0_{R}$$
  这种系数运算规则和普通系数的概念有许多一致性，例如：
  • $n(ab)=(na)b=a(nb)$
  • $(nm)a=n(ma)=m(na)$
  • $n(a+b)=na+nb$
  • $(n+m)a=na+ma$

而类似地如果把多次相加改成多次相乘，那么可以定义幂运算：

$$a^{n}:=\underbrace {a\times a\times \cdots a} _{n{\text{ 次}}}\qquad a^{-n}:=\underbrace {a^{-1}\times a^{-1}\times \cdots a^{-1}} _{n{\text{ 次}}}\qquad a^{0}:=1_{R}$$

• 二项式展开——如果 $ab=ba$ ，那么它们总和的次方可以这样计算：
  $$(a+b)^{n}=a^{n}+{\binom {n}{1}}a^{n-1}b+{\binom {n}{2}}a^{n-2}b^{2}+\cdots +{\binom {n}{n-2}}a^{2}b^{n-2}+{\binom {n}{n-1}}ab^{n-1}+b^{n}=\sum _{i+j=n}{\frac {n!}{(i!)(j!)}}a^{i}b^{j}$$
  这可以推广到多个元素 $a_{1},a_{2},\dots ,a_{m}$ 总和的次方——如果任两个元素的 $a_{i}$ 和 $a_{j}$ 的乘法都可以交换（即 $a_{i}a_{j}=a_{j}a_{i}$ ），那么：
  $$(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{m})^{n}=\sum _{i_{1}+i_{2}+\cdots +i_{m}=n}{\frac {n!}{(i_{1}!)(i_{2}!)\cdots (i_{n}!)}}a_{1}^{i_{1}}a_{2}^{i_{2}}\cdots a_{m}^{i_{m}}$$

基本的相关概念

特殊的环元素

在初等环论中，以下四类型的环元素在任意的环中都有定义，它们是经常被讨论的对象：

• 可逆元（ Unit 或 Invertible element ）：有乘法反元素的环元素。
• 零因子（ Zero divisor ）：相乘后为零的非零元素；相当于“零的因数”。
• 幂零元（ Nilpotent ）：自乘多次后变成零的环元素。
• 幂等元（ Idempotent ）：自乘任意多次都不变的环元素。

环同态、核、像

主条目：环同态

在环论中，环同态描述了环与环之间的关系。一个从环 $R$ 送往环 $S$ 的环同态（ Ring homomorphism ）$f:R\to S$ 简单来说是一种“维持环结构”的映射；而具体来说，$f$ 要具有以下三个性质：

• 维持加法的结构——对所有的 $a,b\in R$ ，都有：
  $$f(a+b)=f(a)f(b)$$
• 维持乘法的结构——对所有的 $a,b\in R$ ，都有：
  $$f(ab)=f(a)(b)$$
• 维持单位元的结构——也就是：
  $$f(1_{R})=1_{S}$$

对一个环同态 $f$ 来说，有以下两个密切相关的概念：

• 核（ Kernel ）——送到零元素的那些元素：
  $$\mathrm {Ker} (f):=f^{-1}(0_{S})=\{a\in R\mid f(a)=0_{S}\}\subseteq R$$
• 像（ Image ）——把元素都送过去后的结果：
  $$\mathrm {Im} (f):=f(R)=\{f(a)\in S\mid a\in R\}\subseteq S$$

子环、（双边）理想、商环

主条目：理想 (环论)、商环和子环

给定一个环 $R$ ，我们可以考虑它的：

• 子环（ Subring ）——某个送往 $R$ 的环同态在$R$ 内的像。

• 双边理想（ Two side ideal ）——某个定义在$R$ 上的环同态的核。
• 商环（ Quotient ）——（同构意义下）某个定义在$R$ 上的环同态的像。

一个环的环同态、子环、双边理想、商环共同刻划了环的结构。

具有额外性质的环

交换环（ commutative ring ）

如果一个环 $R$ 还额外满足：

乘法的交换律：对于所有 ${\textstyle a,b\in R}$：

$$a\times b=b\times a$$

则称 $R$ 是一个交换环。交换环是最被深入研究的一类环，其中包括以下几类：

• 整环（ Integral domain ）：没有零因子的交换环。
• 唯一分解整环（ Unique factorization domain ）：可以唯一分解任何元素的整环。
• 主理想整环（ Principal ideal domain ）：所有理想都是主理想的整环。
• 欧几里得整环（ Euclidean domain ）：可以进行欧几里得算法（辗转相除法）的整环。
• 体（ Field ）：非零元素都有乘法反元素的交换环。
• 代数闭体（ Algebraically closed field ）：所有多项式都有根的体。

非交换环

所谓的非交换环实际上是指“不假设是交换环”的环，这样子的环有：

• 除环（ Division ring ）：非零元素都有乘法反元素的环（可能不交换）。
• 单环（ Simple ring ）：没有非平凡双边理想的环。

从已知的环建构出其他环的方式

直积

主条目：环的直积

给定数个环 $R_{1},R_{2},\dots ,R_{n}$ ，可以考虑这些环作为集合的笛卡尔积：

$$\prod _{i=1}^{n}R_{i}:=R_{1}\times R_{2}\times \cdots \times R_{n}=\{(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\mid a_{1}\in R_{1},a_{2}\in R_{2},\dots ,a_{n}\in R_{n}\}$$

可以在这个集合上用以下方式定义加法和乘法：

$$(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})+(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}):=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\dots ,a_{n}+b_{n})$$

$$(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\times (b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}):=(a_{1}\times b_{1},a_{2}\times b_{2},\dots ,a_{n}\times b_{n})$$

这使得$\prod _{i=1}^{n}R_{i}$构成一个环。称为 $R_{1},R_{2},\dots ,R_{n}$ 的直积（ Direct product ）；它的法单位元是 $(0_{R_{1}},0_{R_{2}},\dots ,0_{R_{n}})$ 乘法单位元是 $(1_{R_{1}},1_{R_{2}},\dots ,1_{R_{n}})$

这种概念可以推广到无限多个环、甚至不可数多个环的直积。

多项式环

主条目：多项式环

给定一个环 $R$ ，可以考虑以这个环作为系数的多项式：

$$R[x]:=\left\{\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}~{\Bigg |}~a_{i}\in R,n=1,2,3,\dots \right\}$$

可以仿照一般的实系数多项式运算规则，为这个集合定义加法和乘法：

$$\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\right)+\left(\sum _{i=0}^{n}b_{i}x^{i}\right):=\sum _{i=0}^{n}(a_{i}+b_{i})x^{i}$$

$$\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\right)\times \left(\sum _{i=0}^{m}b_{i}x^{i}\right):=\sum _{i=0}^{n+m}\left(\sum _{j=0}^{i}a_{j}b_{i-j}\right)x^{i}$$

在这样的运算规则下， $R[x]$ 被称为是 $R$ 的多项式环；它的加法单位元以及乘法单位元与 $R$ 相同。

矩阵环

主条目：矩阵环和方块矩阵

给定一个环 $R$ ，可以考虑以这个环作为系数、大小为 $n\times n$ 的矩阵：

$$\mathbf {M} _{n}(R):=\left\{{\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\dots &a_{n,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}~{\bigg |}~a_{i,j}\in R,\quad i,j=1,2,\dots ,n\right\}$$

同样可以仿照一般的矩阵运算规则，为这个集合定义加法和乘法：

$${\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\dots &a_{n,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}+{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}&\dots &b_{1,n}\\b_{2,1}&b_{2,2}&\dots &b_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n,1}&b_{n,2}&\dots &b_{n,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}:={\begin{bmatrix}a_{1,1}+b_{1,1}&a_{1,2}+b_{1,2}&\dots &a_{1,n}+b_{1,n}\\a_{2,1}+b_{2,1}&a_{2,2}+b_{2,2}&\dots &a_{2,n}+b_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}+b_{n,1}&a_{n,2}+b_{n,2}&\dots &a_{n,n}+b_{n,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}$$

$${\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\dots &a_{n,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}\times {\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}&\dots &b_{1,n}\\b_{2,1}&b_{2,2}&\dots &b_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n,1}&b_{n,2}&\dots &b_{n,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}:={\begin{bmatrix}\sum _{i=1}^{n}a_{1,i}b_{i,1}&\sum _{i=1}^{n}a_{1,i}b_{i,2}&\dots &\sum _{i=1}^{n}a_{1,i}b_{i,n}\\\sum _{i=1}^{n}a_{2,i}b_{i,1}&\sum _{i=1}^{n}a_{2,i}b_{i,2}&\dots &\sum _{i=1}^{n}a_{2,i}b_{i,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\sum _{i=1}^{n}a_{n,i}b_{i,1}&\sum _{i=1}^{n}a_{n,i}b_{i,2}&\dots &\sum _{i=1}^{n}a_{n,i}b_{i,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}$$

那么 $\mathbf {M} _{n}(R)$ 在这样的运算规则下，构成一个环。它的加法单位元是单位矩阵 ：

$$\mathrm {I} _{n}:={\begin{bmatrix}1_{R}&0_{R}&\dots &0_{R}\\0_{R}&1_{R}&\dots &0_{R}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0_{R}&0_{R}&\dots &1_{R}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}$$

乘法单位元则是零矩阵 ：

$$\mathbf {0} _{n}:={\begin{bmatrix}0_{R}&0_{R}&\dots &0_{R}\\0_{R}&0_{R}&\dots &0_{R}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0_{R}&0_{R}&\dots &0_{R}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}$$

同样的，可以考虑任何环 $R$ 的矩阵环 $\mathbf {M} _{n}(R)$ 。矩阵环也是典型的非交换环。

局部化与分式体

主条目：环的局部化

局部化的概念并不是对任何的环都有效，在大多数时候，只会考虑交换环的局部化。粗略地说，局部化是“加入某些元素的乘法反元素”；而分式体则是透过“加入所有非零元素的乘法反元素”来定义。分式体最著名的例子就是从整数构造有理数的过程。

更抽象地讲，一个环对某些元素的局部化是“使得这些元素可逆的、最小的环”；在这种意义下，分式体就是“使得非零元素可逆的、最小的环”。而这个概念实际上就是——“包含这个环的最小的体”。

交换环与代数几何的关系

交换环是乘法满足交换律的环。这种环和代数几何有着深远的关联性，体现在交换环范畴 $\mathbf {CRing}$ 和仿射概形范畴 $\mathbf {AffSch}$ 有着如下对偶性：

$$\mathbf {CRing} ^{\mathrm {op} }\cong \mathbf {AffSch}$$

这种对偶性使得交换环的代数性质可以转换成仿射概形的几何性质。

参见

• 模
• 理想
• 代数
• 伪环

参考文献

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要求“环”要有乘法单位元的教科书

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不要求“环”要有乘法单位元的教科书

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外部链接

• Database of Ring Theory 一个纪录了大量环的性质的数据库
• 《数学百科全书》对环的定义
• MathWorld 对环的定义
• nLab 对环的定义