无限面体
無限多個面的多面體
无限面体（英语：Apeirohedron），是多面体的一种，意指有无限个面、无限条边和无限个顶点的多面体。一般是指所有的平面密铺的集合。
 正方形镶嵌，是无限面体的一个例子 | |
| 类别 | 多面体 平面镶嵌 |
|---|---|
| 对偶多面体 | 仍为无限面体 但可能有不同几何结构 |
| 数学表示法 | |
| 考克斯特符号 | 三种正无限面体    （三角形镶嵌） （正方形镶嵌）（六边形镶嵌） |
| 施莱夫利符号 | {p,q} 其中(p-2)(q-2) = 4 |
| 性质 | |
| 面 | ∞ |
| 边 | ∞ |
| 顶点 | ∞ |
| 欧拉特征数 | F=∞, E=∞, V=∞ (χ=2) |
| 二面角 | 180° |
| 对称性 | |
| 对称群 | 依其几何结构而定 |
| 特性 | |
| 非严格凸、 球内接多面体、 等边多面体、 等角多面体、 平面 | |
在欧几里得几何中，无限面体是一个退化多面体，其面数是可数集的数量，其边数与顶点数将符合V-E+F= 2，但只能利用求极限得出。无限面体跟多面体一样，有面、边、顶点、和角，角也包含有二面角，只是他们全部共面。无限面体并不是球，因为在多面体的定义中，面不能为曲面、边不能为曲线。
无限面体为无限边形在三维空间的类比，与平面镶嵌是等价的。无限面体可以密铺空间，如同无限边形密铺平面，两个无限面体面体即可堆砌填满整个空间，这种几何结构称为二阶无限面体堆砌。
一般对两种主要无限面体类型有研究：
- 平面密铺或镶嵌
- 扭歪无限面体。
正无限面体
正无限面体是正多面体的一种，是指每个面都全等、每条边都等长、每个角都等角的无限面体，就如同一般的正多面体。其二面角为180度，为一平角。
满足这些条件的几何图形只有平面镶嵌，在施莱夫利符号中用{p,q}表示，其中p、q满足等式(p-2)(q-2) = 4。
| 图像 |  三角形镶嵌 |
 正方形镶嵌 |
 六边形镶嵌 |
|---|---|---|---|
| 施莱夫利符号 | {3,6} | {4,4} | {6,3} |
无限胞体
无限胞体（英语：Apeirotope）意指有无限个面、无限个胞、无限条边和无限个顶点的多胞体。
其性质皆与无限面体相似，由空间密铺即空间堆砌组成。四维空间的正无限胞体只有一种，即立方体堆砌[1]。
| 维度 | 三维 退化四维 |
四维 退化五维 | |
|---|---|---|---|
| 图像 |  立方体堆砌 |
 超立方体堆砌 |
 十六胞体堆砌 |
| 施莱夫利符号 | {4,3,4} | {4,3,3,4} | {3,3,4,3} |
扭歪无限面体
扭歪无限面体也是一种无限面体，其与一般无限面体差异在于扭歪无限面体并非所有顶点都共面，可以视为无限边形与扭歪无限边形之差异在三维空间的类比。
所有面都全等、角也相等的扭歪无限面体为正扭歪无限面体。三维空间的正扭歪无限面体有三种：
| 图像 |  四角六片四角孔扭歪无限面体 |
 六角四片四角孔扭歪无限面体 |
 六角六片三角孔扭歪无限面体 |
|---|---|---|---|
| 施莱夫利符号 | {4,6|4} | {6,4|4} | {6,6|3} |
双曲空间
此外，由于双曲镶嵌也是由无限多个双曲平面构成的图形，因此双曲镶嵌也可以做为一种无限面体[2]。
| 图像 |  七阶三角形镶嵌 |
 五阶正方形镶嵌 |
 四阶五边形镶嵌 |
 四阶六边形镶嵌 |
 七边形镶嵌 |
|---|---|---|---|---|---|
| 施莱夫利符号 | {3,7} | {4,5} | {5,4} | {6,4} | {7,3} |
参见
参考文献
- Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes 3rd ed. New York: Dover Publications. 1973: 121–122. ISBN 0-486-61480-8. p.296, Table II: Regular honeycombs
- Peter McMullen, Egon Schulte, Abstract Regular Polytopes, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-81496-0 (Page 25)
- Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979: 164–199. ISBN 0-486-23729-X. Chapter 5: Polyhedra packing and space filling
- Critchlow, K.: Order in space.
- Pearce, P.: Structure in nature is a strategy for design.
- ^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, Architectonic and Catoptric tessellations, p 292-298, includes all the nonprismatic forms)
- ^ Garner, C. W. L. Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space. Canad. J. Math. 19, 1179–1186, 1967. [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆） Note: His paper says there are 32, but one is self-dual, leaving 31.