李雅普诺夫稳定性

在数学和自动控制领域中，李雅普诺夫稳定性（英语：Lyapunov stability，或李亚普诺夫稳定性）可用来描述一个动力系统的稳定性。如果此动力系统任何初始条件在 $x_{0}$ 附近的轨迹均能维持在 $x_{0}$ 附近，那么该系统可以称为在$x_{0}$处李雅普诺夫稳定。

当启始点在区域V内，而轨迹均维持在区域U内（在$x_{0}$ 附近），则系统在$x_{0}$处为李雅普诺夫稳定

若任何初始条件在 $x_{0}$ 附近的轨迹最后都趋近$x_{0}$，那么该系统可以称为在$x_{0}$处渐近稳定。指数稳定可用来保证系统最小的衰减速率，也可以估计轨迹收敛的快慢。

李雅普诺夫稳定性可用在线性及非线性的系统中。不过线性系统的稳定性可由其他方式求得，因此李雅普诺夫稳定性多半用来分析非线性系统的稳定性。李亚普诺夫稳定性的概念可以延伸到无限维的流形，即为结构稳定性，是考虑微分方程中一群不同但“接近”的解的行为。输入-状态稳定性（ISS）则是将李雅普诺夫稳定性应用在有输入的系统。

历史

这一稳定性以俄国数学家亚历山大·李亚普诺夫命名，他在1892年发表了他的博士论文《运动稳定性的一般问题》，文中给出了稳定性的科学概念、研究方法和相关理论。李雅普诺夫考虑到针对非线性系统修改稳定理论，修正为以一个稳定点线性化的系统为基础的线性稳定理论。他的作品最初以俄文发行，后翻译为法文，但多年来默默无闻。人们对它的兴趣突然在冷战初期（1953至1962年）开始，因当所谓的“李雅普诺夫第二方法”被认为适用于航空航天制导系统的稳定性，而这系统通常包含很强的非线性，其他方法并不适用。大量的相关出版物自那时起开始出现，并进入控制系统文献中。最近李雅普诺夫指数的概念（与李雅普诺夫稳定性第一种方法）引起了广泛兴趣，并与混沌理论结合了起来。

连续时间系统下的定义

给定一个完备的赋范向量空间E（例如$\mathbb {R} ^{n}$），设U是E的开子集。考虑一个自治的非线性动力系统：

${\dot {x}}=f(x(t)),\;\;\;\;x(t_{0})=x_{0}$,

其中$x(t)\in U$是系统的状态向量，$f:U\rightarrow E$是U上的连续函数。

假设函数f有一个零点：f(a) = 0，则常数函数：x = a是动力系统的驻定解（或称平衡解）。称a是动力系统的平衡点。

1. 称点a李雅普诺夫稳定（简称稳定），如果对每个$\epsilon >0$，均存在$\delta =\delta (\epsilon )>0$，使得对所有满足$\|x_{0}-a\|<\delta$的$x_{0}$，只要$t\geqslant t_{0}$，就有$\|x(t)-a\|<\epsilon$。
2. 称点a渐近稳定，如果点a李雅普诺夫稳定，且存在$\delta >0$，使得对所有满足 $\|x_{0}-a\|<\delta$ 的$x_{0}$，$\lim _{t\rightarrow \infty }x(t)=a$。
3. 称点a指数稳定，如果点a渐近稳定，且存在 $\alpha ,\beta ,\delta >0$ 使得对所有满足$\|x_{0}-a\|<\delta$的$x_{0}$，只要$t\geqslant t_{0}$，就有$\|x(t)-a\|\leq \alpha \|x_{0}-a\|e^{-\beta t}$。

它们的直观几何意义是：

1. 平衡点为李雅普诺夫稳定的，表示若动力系统状态函数（微分方程的解函数）的初值“足够接近”平衡点，则它会永远维持在平衡点附近任意小的范围里（距平衡点的距离不超过任意选择的正实数 $\epsilon$）。
2. 渐近稳定的意思是，初值足够接近平衡点的状态函数，不但维持在平衡点附近，而且最后会收敛到平衡点。
3. 指数稳定的意思是，状态函数不但最后会收敛到平衡点，且收敛速度不慢于某种指数递减的速度。

设有状态函数x，其初始取值为$x(t_{0})=x_{0}$。称${\bar {x}}=\{x(t);\;t\geqslant t_{0}\}$为x的轨迹。如果对所有初始值与x足够接近的状态函数y，两者的轨迹会趋于相同：

$\lim _{t\to \infty }\|y(t)-x(t)\|\longrightarrow 0.$

则称x的轨迹有（局部）吸引性（attractive）。若上述条件对所有y均成立，则称x有全局吸引性（globally attractive）。

如果x的轨迹有吸引性，并且稳定，则x渐近稳定。不过，x有吸引性不表示它的轨迹渐近稳定。

迭代系统下的定义

离散时间系统下稳定性的定义和连续时间系统下的定义几乎相同。以下为其定义，不过使用的是较多数学书籍上使用的定义。

给定度量空间$(X,d)$。设$f\colon X\to X$为一连续函数。称点$a\in X$为李雅普诺夫稳定，如果对任意$\epsilon >0$，都存在$\delta >0$，使得只要$x\in X$满足$d(x,a)<\delta$，就有

$\forall n\in \mathbb {N} ,\;\;d(f^{n}(x),f^{n}(a))<\epsilon .$

称点a渐近稳定，如果a是李雅普诺夫稳定的点，而且在稳定点集合的内部，即存在$\delta >0$，使得只要$x\in X$满足$d(x,a)<\delta$，就有

$\lim _{n\to \infty }d(f^{n}(x),f^{n}(a))=0$

李雅普诺夫稳定性理论

对于微分方程解之稳定性的研究称为稳定性理论。而李雅普诺夫稳定性定理只提供了稳定性的充份条件。

李雅普诺夫稳定性第二定理

考虑一个函数 V(x) : Rⁿ → R 使得

• $V(x)\geq 0$ 只有在 $x=0$ 处等号成立（正定函数）
• ${\dot {V}}(x(t))<0$ （负定）

则V(x)称为李雅普诺夫候选函数（Lyapunov function candidate），且系统（依李雅普诺夫的观点）为渐近稳定。

上式中 $V(0)=0$ 是必要的条件。否则，$V(x)=1/(1+|x|)$可以用来“证明” ${\dot {x}}(t)=x$有区域性稳定。另一个称为径向无界性（radial unboundedness）的条件则是用来得到全域渐近稳定的结果。

此种分析方式可类比为考虑一物理系统（如弹簧及质量的系统）及其中的能量。若系统能量随时间递减，且减少的能量不会恢复，而此系统最后一定会静止于某个特定的状态。最后的状态称为吸引子。不过针对一个物理系统，找到表达其精确能量的函数不一定容易，而且针对抽象数学系统、经济系统或生物系统，上述能量的概念又不一定适用。

利用李雅普诺夫的分析方式，可在不知道系统实际能量的情形下，证明系统的稳定性。不过前提是可以找到满足上述限制的李雅普诺夫函数。

例如考虑以下的系统

${\dot {x}}=-x^{3}\,$

希望用李雅普诺夫函数来确认$x=0\,$附近的稳定性。令

$V(x)=0.5x^{2}\,$

$V(x)$本身为正定函数．而V(x)的导函数如下

${\dot {V}}(x(t))={\partial V \over \partial x}(-x^{3})=-x^{4}\,$

为负定函数，因此上述系统在$x=0\,$附近为渐近稳定。

线性系统状态空间模型的稳定性

一个线性的状态空间模型

${\dot {\textbf {x}}}=A{\textbf {x}}$

为渐近稳定（其实是指数稳定），若

$A^{T}M+MA+N=0$

的解存在。

其中 $N=N^{T}>0$ 且 $M=M^{T}>0$ （正定矩阵）。（对应的李雅普诺夫函数为$V(x)=x^{T}Mx$）

有输入值系统的稳定性

一个有输入（或受控制）的系统可以下式表示

${\dot {\textbf {x}}}={\textbf {f(x,u)}}$

其中输入 u(t) 可视为控制、外部输入、扰动、刺激或外力。这种系统的研究是控制理论研究的主题之一，也应用在控制工程中。

对于有输入的系统，需量化输入对系统稳定性的影响。在线性系统中会用BIBO稳定性来作分析的工具，在非线性系统中则会使用输入-状态稳定性。

相关条目

• 李亚普诺夫函数
• 摄动理论
• 拉萨尔不变集原理

参考资料

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外部链接

• Lyapunov A.M. Stability of motion, Academic Press, New-York and London,1966
• Zakhama, R.; Hadj Brahim, A.B.B.; Braiek, N.B. Generalization of a stability domain estimation method for nonlinear discrete systems. Computational and Applied Mathematics. October 2016, 37: 1130–1141. doi:10.1007/s40314-016-0388-7. 
• https://web.archive.org/web/20090703102428/http://www.mne.ksu.edu/research/laboratories/non-linear-controls-lab