拓扑比较

在拓扑学和其相关的数学领域里，拓扑比较是指在同一个给定的集合上的两个拓扑结构之间的关系。在一给定的集合上的所有拓扑会形成一个偏序集合。此一序关系可以用来做不同拓扑之间的比较。

定义

定义 — ${\mathfrak {T}}_{1}$ 和 ${\mathfrak {T}}_{2}$ 都是 $X$ 的拓扑，若 ${\mathfrak {T}}_{1}\subseteq {\mathfrak {T}}_{2}$ 称 ${\mathfrak {T}}_{2}$ 比 ${\mathfrak {T}}_{1}$更细（fine）或更强（strong），或称 ${\mathfrak {T}}_{1}$ 比 ${\mathfrak {T}}_{2}$更粗（coarse）或更弱（weak）。

进一步的，若 ${\mathfrak {T}}_{1}\subset {\mathfrak {T}}_{2}$ ，称 ${\mathfrak {T}}_{2}$ 比 ${\mathfrak {T}}_{1}$严格细（strictly fine），或称 ${\mathfrak {T}}_{1}$ 比 ${\mathfrak {T}}_{2}$严格粗（strictly coarse）。

直观上，${\mathfrak {T}}_{2}$ 有更多甚至是“更小”的邻域去逼近拓扑空间中的一点，所以相较之下，其拓扑结构比较“细致”。但在 ${\mathfrak {T}}_{2}$ 意义下定义的 “极限”要求在更多的邻域都要能找到逼近点，所以其拓扑结构在收敛的意义下比较“强”。至于严格细或粗，就是额外要求 ${\mathfrak {T}}_{1}\neq {\mathfrak {T}}_{2}$ 。

二元关系 $\subseteq$ 在 $X$ 所有的拓扑所组成的集合上定义了一个偏序集合。

例子

$X$ 的拓扑里，最粗的是由空集和全集两个元素构成的：

${\mathfrak {T}}=\{X,\,\varnothing \}$

而最细的拓扑是离散拓扑（discrete topology），也就是$X$ 的幂集：

${\mathfrak {T}}_{D}={\mathcal {P}}(X)$

最粗拓扑

定理 — 设 ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ 是 $X$ 的一个子集族，则：

$\tau _{\mathcal {F}}=\bigcap {\bigg \{}{\mathfrak {T}}\,{\bigg |}\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}}){\bigg \}}$

也是 $X$ 的拓扑。

证明

根据定理的条件，对所有集合 $A$ 有：

$O\in \tau _{\mathcal {F}}\Leftrightarrow (\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (O\in {\mathfrak {T}})\right\}$ (a)

以下将逐条检验拓扑的定义，来验证 $\tau _{\mathcal {F}}$ 的确是$X$ 的拓扑：

(1) $X,\,\varnothing \in \tau _{\mathcal {F}}$

若 ${\mathfrak {T}}$ 的确是 $X$ 的拓扑，那由拓扑的定义可以得到 $X,\,\varnothing \in {\mathfrak {T}}$ ，这样从式(a)右方就可以得到 $X,\,\varnothing \in \tau _{\mathcal {F}}$ 。

(2) $U,\,V\in \tau _{\mathcal {F}}$ 则 $U\cap V\in \tau _{\mathcal {F}}$

若 $U,\,V\in \tau _{\mathcal {F}}$ ，从式(a)左方有：

$(\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (U\in {\mathfrak {T}})\right\}$

$(\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (V\in {\mathfrak {T}})\right\}$

所以有：

$(\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (U,\,V\in {\mathfrak {T}})\right\}$

所以根据拓扑的定义有：

$(\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (U\cap V\in {\mathfrak {T}})\right\}$

这样从式(a)右方就可以得到 $U\cap V\in \tau _{\mathcal {F}}$ 。

(3) ${\mathcal {G}}\subseteq \tau _{\mathcal {F}}$ 则 $\bigcup {\mathcal {G}}\in \tau _{\mathcal {F}}$

若 ${\mathcal {G}}\subseteq \tau _{\mathcal {F}}$ ，那对任意 $g\in {\mathcal {G}}$ ，从式(a)左方有：

$(\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (g\in {\mathfrak {T}})\right\}$

所以有：

$(\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow ({\mathcal {G}}\subseteq {\mathfrak {T}})\right\}$

所以根据拓扑的定义有：

$(\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (\bigcup {\mathcal {G}}\in {\mathfrak {T}})\right\}$

所以从式(a)右方可以得到 $\bigcup {\mathcal {G}}\in \tau _{\mathcal {F}}$ 。

综上所述，来验证 $\tau _{\mathcal {F}}$ 的确是 $X$ 的拓扑。$\Box$

根据以上的定理，可以做以下的定义：

定义 — ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ 是 $X$ 的一个子集族，则：

$\tau _{\mathcal {F}}=\bigcap {\bigg \{}{\mathfrak {T}}\,{\bigg |}\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}}){\bigg \}}$

称为包含 ${\mathcal {F}}$ 的最粗拓扑（或最弱拓扑）。

另见

• 初拓扑－可使集合上的一组映射皆为连续的拓扑之中，最粗糙的拓扑。
• 终拓扑－可使集合上的一组映射皆为连续的拓扑之中，最精细的拓扑。