力矩

作用力促使物体绕着转动轴或支点转动的趋向

力矩moment of force[1],moment[2])在物理学中,是作用力促使物体绕着转动轴支点转动的趋向[3];也就是作用力使物体产生“转”、“扭”或“弯”效应的量度。简略地说,力矩是一种施加于例如螺栓飞轮一类的物体,或是拧毛巾、扳钢筋的扭转力。例如,用扳手的开口箝紧螺栓螺帽,然后转动扳手,这动作会产生力矩来转动螺栓或螺帽。

在一个旋转系统里,作用力、位置矢量、力矩、动量、角动量,这些物理量之间的关系。

使机械元件转动的力矩又称转矩(turning moment[4],moment of rotation[5])即转动力矩;在材料力学土木工程建筑学中,作用引起的结构或构件某一截面上的剪力所构成的力偶矩,称为扭矩[6](torsional moment,torque),而作用引起的结构或构件某一截面上的正应力所构成的力矩,则称为弯矩[7](bending moment)。

力矩能够使物体改变其旋转运动。推挤或拖拉涉及到作用力,而扭转则涉及到力矩。如上图,力矩等于径向矢量与作用力叉积

根据国际单位制,力矩的单位是牛顿。本物理量非能量,因此不能以焦耳(J)作单位;根据英制单位,力矩的单位则是英尺磅。力矩的表示符号是希腊字母,或

力矩与三个物理量有关:施加的作用力、从转轴到施力点的位移矢量、两个矢量之间的夹角。力矩以矢量方程表示为

力矩的大小为

定义

 
用右手定则决定力矩方向

力矩等于作用于杠杆的作用力乘以支点到力的垂直距离。例如,3 牛顿的作用力,施加于离支点2 处,所产生的力矩,等于1牛顿的作用力,施加于离支点6米处,所产生的力矩。力矩是个矢量。力矩的方向与它所造成的旋转运动的旋转轴同方向。力矩的方向可以用右手定则来决定,也可以用叉乘计算。假设作用力垂直于杠杆。将右手往杠杆的旋转方向弯卷,伸直的大拇指与支点的旋转轴同直线,则大拇指指向力矩的方向[8]

 
假设作用力 施加于位置为 的粒子。选择原点(以红点表示)为参考点,只有垂直分量 会产生力矩。这力矩 的大小为 ,方向为垂直于屏幕向外。

更一般地,如图右,假设作用力 施加于位置为 的粒子。选择原点为参考点,力矩 以方程定义为

 

力矩大小为

 

其中, 是两个矢量  之间的夹角。

力矩大小也可以表示为

 

其中, 是作用力 对于 的垂直分量。

任何与粒子的位置矢量平行的作用力不会产生力矩。

从叉积的性质,可推论,力矩垂直于位置矢量 和作用力 。力矩的方向与旋转轴平行,由右手定则决定。

与角动量之间的关系

 
地心引力 的力矩造成角动量 的改变。因此,陀螺呈现进动现象。

假设一个粒子的位置为 ,动量为 。选择原点为参考点,此粒子的角动量 

 

粒子的角动量对于时间的导数为

 

其中, 是质量, 是速度, 是加速度。

应用牛顿第二定律 ,可以得到

 

按照力矩的定义, ,所以,

 

作用于一物体的力矩,决定了此物体的角动量 对于时间 的导数。

假设几个力矩共同作用于物体,则这几个力矩的合力矩 共同决定角动量的对于时间的变化:

 

关于物体的绕着固定轴的旋转运动,

 

其中, 是物体对于固定轴的转动惯量 是物体的角速度

所以,取上述方程对时间的导数:

 

其中, 是物体的角加速度

单位

力矩的定义是距离乘以作用力。根据国际单位制,力矩的单位是牛顿 [9](Nm)。虽然牛顿与米的次序,在数学上,是可以交换的,但是国际重量测量局Bureau International des Poids et Mesures)规定这次序应是牛顿 米,而不是米 牛顿[10]

根据国际单位制能量功量的单位是焦耳,定义为1牛顿 米。但是,焦耳不是力矩的单位。因为,能量是力点积距离的标量;而力矩是距离叉积作用力的矢量。当然,量纲相同并不尽是巧合,使1牛顿 米的力矩,作用1 全转,需要恰巧 焦耳的能量:

 

其中, 是能量, 是移动的角度,单位是弧度

根据英制,力矩的单位是英尺 磅。

矩臂方程

 
矩臂图

在物理学外,其他的学术界里,力矩时常会如以下定义:

 

右图显示出矩臂(moment arm)、前面所提及的相对位置 、作用力 (force)。这个定义并没有指出力矩的方向,只有力矩的大小。所以,并不适用于三维空间问题。

静力概念

当一个物体在静态平衡时,合力是零,对任何一点的合力矩也是零。二维空间的平衡要求是

 
 
 

这里, 是作用力 分别在x-轴与y-轴的分量。假若,这三个联立方程有解,则称此系统为静定系统;不然,则称为静不定系统。

力矩、能量和功率之间的关系

假设施加作用力于一物体,使得此物体移动一段距离,则作用力对于此物体做了机械功。类似地,假设施加力矩于一物体,使得此物体旋转一段角位移,则力矩对于此物体做了机械功。对于穿过质心的固定轴的旋转运动,以数学方程表达,

 

其中, 是机械功,  分别是初始角和终结角, 是无穷小角位移元素。

根据功能定理 也代表物体的旋转动能 的改变,以方程表达,

 

功率是单位时间内所做的机械功。对于旋转运动,功率 以方程表达为

 

请注意,力矩注入的功率只跟瞬时角速度有关,而角速度是否在增加中,或在减小中,或保持不变,功率都与这些状况无关。

实际上,在与大型输电网络相连接的发电厂里,可以观察到这关系。发电厂的发电机的角速度是由输电网络的频率设定,而发电厂的功率输出是由作用于发电机转动轴的力矩所决定。

在计算功率时,必须使用一致的单位。采用国际单位制,功率的单位是瓦特,力矩的单位是牛顿-米,角速度的单位是每秒弧度(不是每分钟转速rpm,也不是每秒钟转速)。

力矩原理

力矩原理阐明,几个作用力施加于某位置所产生的力矩的总和,等于这些作用力的合力所产生的力矩。力矩原理又名伐里农定理(Varignon's theorem)[11](以法国科学家兼神父皮埃尔·伐里农命名),以方程表达,

 

参考文献

  1. ^ https://terms.naer.edu.tw/detail/09e3fa45b1d9fac0d25d6a44e794f576/?seq=2
  2. ^ 存档副本. [2023-05-19]. (原始内容存档于2023-05-19). 
  3. ^ Serway, R. A. and Jewett, Jr. J. W. (2003). Physics for Scientists and Engineers. 6th Ed. Brooks Cole. ISBN 978-0-534-40842-8.
  4. ^ 存档副本. [2023-05-19]. (原始内容存档于2023-05-19). 
  5. ^ 存档副本. [2023-05-19]. (原始内容存档于2023-05-19). 
  6. ^ 存档副本. [2023-05-19]. (原始内容存档于2023-05-19). 
  7. ^ 存档副本. [2023-05-19]. (原始内容存档于2023-05-19). 
  8. ^ *乔治亚州州立大学Georgia State University)线上物理网页:力矩的右手定則, [2007-09-08], (原始内容存档于2007-08-19) 
  9. ^ SI brochure Ed. 8, Section 5.1, Bureau International des Poids et Mesures, 2006 [2007-04-01], (原始内容存档于2007-05-19) 
  10. ^ SI brochure Ed. 8, Section 2.2.2, Bureau International des Poids et Mesures, 2006 [2007-04-01], (原始内容存档于2005-03-16) 
  11. ^ Engineering Mechanics: Equilibrium, by C. Hartsuijker, J. W. Welleman, page 64

延伸阅读

参阅

外部链接