谱图论

数学上，谱图论（英语：spectral graph theory）是图论的分支，研究图的性质与其邻接矩阵、调和矩阵等的特征多项式、特征值和特征向量有何关联。$n$个顶点的图，其邻接矩阵是$n\times n$矩阵，各分量分别以$0$或$1$表示对应的两顶点之间是否有连边。简单无向图的邻接矩阵是实对称矩阵，从而可正交对角化，其特征值皆是实代数整数。

虽然邻接矩阵取决于如何标记顶点以作排序，但是矩阵的谱是图不变量，不取决于标记方式。（不过也不是完备不变量，不足以完全刻画图的全部性质。）

谱图论亦关注藉图的矩阵特征值重数定义的参数，如科兰·德韦迪耶尔数。

共谱图

两幅图称为“共谱”（cospectral）或“等谱”（isospectral），意思是两者的邻接矩阵等谱，特征值不仅数值相等，连重数也一样，即组成的多重集相等。

两个共谱九面体，最小的一对共谱多面体图

共谱图不必同构，但同构图必然共谱。

独有的谱

图$G$由谱决定（determined by its spectrum），意思是具有该谱的图必与$G$同构。简单例子包括：

• 完全图
• 有限星状树，即恰有一个顶点度数大于$2$的树。

共谱配偶

若一对图具有相同的谱，但是不同构，则称为“共谱配偶”（cospectral mates）。最小一对共谱配偶是$\{K_{1,4},C_{4}\sqcup K_{1}\}$，前者是五个顶点的星，而后者是四个顶点的环，与独一个顶点的不交并，如考拉兹和西诺戈维茨于1957年所述。最小一对多面体共谱配偶是两个八顶点的九面体。

寻找共谱图

几乎所有树皆会与另一树共谱。换言之，随顶点数增加，有共谱树的树所占比率趋于$1$。一对正则图共谱当且仅当其补图亦共谱。一对距离正则图共谱，当且仅当其相交阵列相等。

共谱图亦可藉砂田方法构造。尚有另一类共谱图，来自各种点线几何。此种几何中，以各点为顶点，有直线过两点则连边，可得“点共线图”（point-collinearity graph）。反之，以直线为顶点，两直线相交则连边，可得“线相交图”（line-intersection graph）。两幅图必共谱，但经常不同构。

奇格不等式

黎曼几何中，对于紧黎曼流形$M$，有等周定理的推广，称为奇格不等式。其断言，$n$维区域$A\subseteq M$的体积一定时，边界$\partial A$的面积不能太小，相比$A$的体积，比例常数有某个下界，与拉普拉斯－贝尔特拉米算子的特征值有关。此不等式在图论的离散情况下有类比，拉－贝二氏算子对应的概念是拉氏矩阵。谱图论的奇格不等式在算法方面有应用，因为借由拉氏算子的第二特征值，可以估算图的最小割之值。

奇格常数

主条目：奇格常数 (图论)

图的奇格常数（Cheeger constant），或作奇格数（Cheeger number）、等周数（isoperimetric number），直观理解是用作衡量该图是否有“瓶颈”。多个学科需要衡量瓶颈程度，所以其用途包括：建造非常连通的计算机网络、洗牌、低维拓扑（尤其研究双曲3流形时）。

对于一幅$n$个顶点的图$G$，奇格常数$h(G)$的定义，可用符号写成：

$h(G)=\min _{0<|S|\leq {\frac {n}{2}}}{\frac {|\partial (S)|}{|S|}}.$

式中的最小值取遍一切大小不过半的非空顶点集合$S$，而$\partial (S)$表示$S$的边边界（edge boundary），即恰有一端属$S$的边所组成的集。

不等式叙述

当$G$为$d$正则时，$h(G)$与度数及第二特征值之差$d-\lambda _{2}$（又称“谱隙”）有关。多久克及阿隆、米尔曼二人分别独立证出以下不等式：

${\frac {1}{2}}(d-\lambda _{2})\leq h(G)\leq {\sqrt {2d(d-\lambda _{2})}}.$

此不等式与马尔可夫链的奇格界密切相关，亦是黎曼几何中，奇格不等式的离散变式。

更一般情况，可考虑连通图$G$，不必正则，此时金芳蓉的书中有另一条不等式：

${\frac {1}{2}}{\lambda }\leq {\boldsymbol {h}}(G)\leq {\sqrt {2\Delta \lambda }},$

式中$\lambda$是（未归一的）拉氏算子最小非平凡特征值，$\Delta$是最大度，而${\boldsymbol {h}}(G)$是经归一化的奇格常数：

${\boldsymbol {h}}(G)=\min _{\emptyset \not =S\subset V(G)}{\frac {|\partial (S)|}{\min({\mathrm {vol} }(S),{\mathrm {vol} }({\bar {S}}))}},$

其中${\mathrm {vol} }(Y)$表示$Y$中各顶点的度数和。

霍夫曼-德尔萨特不等式

对正则图的独立集大小，可用特征值计算出一个上界，最先由艾伦·霍夫曼和菲利浦·德尔萨特（Philippe Delsarte）证明。不等式的叙述如下：

设$G$是$n$个顶点的$k$正则图，且最小一个特征值为$\lambda _{\mathrm {min} }$，则$G$的独立数

$\alpha (G)\leq {\frac {n}{1-{\frac {k}{\lambda _{\mathrm {min} }}}}}.$

此上界应用在合适的图上，就能以代数方式证明艾狄胥-柯-雷多定理，以及有关有限域上子空间相交族的类似定理。

对于一般不必正则的图，考虑归一化拉氏矩阵的最大特征值$\lambda '_{\mathrm {max} }$，也能推导出类似的结论：

$\alpha (G)\leq n\left(1-{\frac {1}{\lambda '_{\mathrm {max} }}}\right){\frac {\Delta (G)}{\delta (G)}},$

式中$\Delta (G)$和$\delta (G)$分别表示$G$的最大度和最小度。此为另一不等式的特例：对于任意独立集$X$，有

${\mathrm {vol} }(X)\leq \left(1-{\frac {1}{\lambda '_{\mathrm {max} }}}\right){\mathrm {vol} }(V(G)),$

其中${\mathrm {vol} }(Y)$代表集合$Y$中所有顶点的度数之和。

沿革

谱图论在1950年代至1960年代逐渐出现。图论有研究图的结构与谱性质之间有何联系，除此之外，量子化学研究亦是另一源头，但两个方向的研究互不流通，要到很后期才合而为一。1980年茨维特科维奇、杜布、萨克斯的专著《图之谱》概括了当时本领域的多数研究，其后由1988年《图谱论之近期成果》和《图之谱》1995年第三版再次更新。2000年代，砂田利一开创离散几何分析，并加以发展。此领域处理谱图论的方式，是利用加权图的离散拉氏算子，在形状分析等领域有应用。近来，谱图论应用广泛，用于分析一些现实（如信号处理时）可能会遇到的图。

参见

• 强正则图
• 代数连通度
• 代数图论
• 谱聚类
• 谱形分析
• 埃斯特拉达指标
• 洛瓦兹数ϑ
• 扩展图

参考文献

• Hoory, Shlomo; Linial, Nathan; Wigderson, Avi. Expander graphs and their applications [扩展图及其应用] (PDF). Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society. 2006-10, 43 (4): 439–561 [2022-02-18]. doi:10.1090/S0273-0979-06-01126-8. （原始内容 (PDF)存档于2022-01-13） （英语）.