机械利益

机械利益(mechanical advantage)又称机械效益,指工具、机械设备英语mechanical device或机械系统将放大的比例。设备需在输入的力及以位移之间取舍,最后得到输出力的理想放大比例。此模型称为“杠杆定律”。有些机械零件是为了转换力以及位移,这种零件称为机构[1] 。假设Fin是输入的力,Fout是输出的力,则机械利益MA为:


机械利益为正数,若大于一,表示输出的力比输入的力大,若小于一,表示输出的力比输入的力小,但输出位移比输入位移要大。

杠杆

 

杠杆以支点为中心而转动,离支点越近的地方移动的越慢,离支点越远的地方移动的越快。输入杠杆及输出杠杆的功率相等,而功率是力和速度的乘积,因此离支点越远的地方,施的力就越小,离支点越近的地方,施的力就越大[1]

a和 and b是点AB距支点的距离,而FA是在A点的输入力,FB是在B点的输出力,A点和B点速度的比值为a/b,因此输出力和输入力的比值(机械利益)如下:

 

这就是杠杆原理,是阿基米德利用对几何的理解所证明的[2]

静力学分析中,利用速度来分析杠杆的力,也是虚功定理的应用。

速比

理想机构输入功率等于输出功率,因此可以用系统输入—输出的速比(speed ratio)来计算机械利益。

若针对齿轮组,以ωA的角速度给TA的转矩,其输入功率为P=TAωA

因为输入功率和输出功率相等,输出转矩TB和输出角速度ωB乘积会满足以下关系

 

因此

 

速比的定义就是输出角速度和输入角速度的比值,因此针对理想机构的速比会等于机械利益,这应用在从机器人一直到连杆机构的所有机器

齿轮系

由于齿轮的设计方式,齿轮的齿数会和其节圆的半径成正比,因此二个相互啮合的齿轮,可以由一个齿轮带动另一个旋转,不会滑动。一组齿轮的速比可以用其其节圆的半径比来计算,也可以用二个齿轮齿数的比例(齿比)来计算。

 
两个啮合的齿轮,可以传递转动运动

二个齿轮在节圆上接触点的速度v相等,因此可得

 

其中输入齿轮A的半径是rA,和半径为rB的输出齿轮啮合 因此

 

其中NA是输入齿轮的齿数,NB是输出齿轮的齿数。

由输入齿轮齿数NA,输出齿轮齿数NB组成的啮合齿轮,其机械利益为

 

因此若输出齿轮GB比输入齿轮GA要大,此齿轮系可以放大力矩,但会让转速变慢,若输出齿轮GB比输入齿轮GA要小,此齿轮系可以缩小力矩,会让转速变快。

链轮或皮带轮

不论是由链条连接两个链轮的机构,或是由皮带连接两个皮带轮的机构,其目的都是为了在传动系统中改变其机械利益。

两个链轮和链条接触点的速度v会相等,两个皮带轮和皮带接触点的速度亦同:

 

其中链轮或皮带轮A是输入端,其半径是rA,输出链轮或皮带轮B的半径是rB

因此

 

其中NA是输入链轮的齿数,NB是输出链轮的齿数。若是齿形带的皮带轮机构,也可以使用其齿数。若是只用摩擦力的皮带轮,一定要使用输入轮和输出轮半径的资讯。

若链轮机构(或齿形带皮带轮机构),输入轮齿数为NA,输出轮齿数为NB,其机械利益是:

 

针对只使用摩擦力的皮带轮,其机械利益是:

 

链条和皮带在传输功率时会有摩擦力、伸长及磨损的情形,因此输出功率会小于输入功率,实际系统的机械利益会小于理论值。链轮机构或皮带轮机构大约损失5%的功率,是因为摩擦生热、形变或磨损所产生的热,此时的效率约为95%。

滑轮组

滑轮组是绳子和许多滑轮组合,移动物品的机构。一般来说会有固定不移动的定滑轮,以及随物品移动的动滑轮,绳子会绕在动滑轮和定滑轮上,以提供机械利益,在滑轮组的输入端施力,再透过滑轮组将力放大,来移动物品[3]

为了计算滑轮组的机械利益,考虑最简单的起重滑车,由一个定滑轮和一个动滑轮组成。绳子绕在定滑轮上,垂下的一端可以施力往下拉,垂下的另一端绕在乘载重物的动滑轮上,绕过动滑轮后固定在定滑轮的支架上。

 
滑轮组的机械利益等于支持移动重物的绳子数量,从左到右分别是2, 3, 4, 5和6

S是从定滑轮轴心到绳子末端的长度,这是A,是施力的位置。令R是定滑轮轴心到动滑轮轴心的位置,这是B,是放重物的位置。

绳子的总长L可以写成

 

其中K是绳子绕过定滑轮及动滑轮需要的长度,此长度不随滑轮位置而变化。

A点和B点的速度VAVB的关系和绳子的总长有关,绳子的总长为固定值,因此

 

或者

 

其中的负号表示重物速度的方向和施力的方向相反,施力往下,重物会向上移动。

VA向下为正,VB向上为正,因此其关系可以表示为速比

 

其中的2是支持动滑轮及重物重量的绳索数量。

FA是在A点的施力,令FB是动滑轮在B点的受力。其正负号也是FA往下为正,FB往上为正。

若是理想的滑轮组,滑轮没有摩擦力,绳子也不会形变或磨损,因此输入功率FAVA会等于输出功率FBVB,也就是

 

输出力和输入力的比值即为理想起重滑车系统的机械利益

 

此分析可以扩展到理想的滑车组,其动滑轮及重物的重量是由n段绳子所支持

 

可以证明理想的滑车组对重物的输出力是输入力的n倍,其中n是支持动滑轮及重物重量的绳子数量。

效率

在计算机械利益时,会假设能量不会因为形变、摩擦力或是磨损所损失,机械可以以其最佳性能输出,此情形下计算的机械利益会称为是理想机械利益(ideal mechanical advantage、IMA)。实际上,形变、摩擦力或是磨损都会降低机械利益。实际机械利益(actual mechanical advantage、AMA)和理想机械利益之间的比值是效率,可以透过实验求得。

例如有六段绳子支持动滑车的滑车组,有300 kg的重物,若是在理想的滑车组,工人需要的施力会是50 kg,若要让重物上移1米,工人需要拉6米。Fout / FinVin / Vout都可以说明理想机械利益是6。第一个比值是输出力300 kg和输入力50 kg所得的比值。但在真实系统中,输入力50 kg,因此摩擦力、绳子形变等因素的损失,输出力会小于300 kg,因此其实际机械利益会小于6。

理想机械利益

理想机械利益(ideal mechanical advantage、IMA)或理论机械利益(theoretical mechanical advantage)是假设没有能量损失的情形下所得的机械利益。是用设备的实际尺寸计算的,也是实际机械利益的上限。

理想机械的假设也就表示机械本身不会储存能量,也不会耗散能量。输入的功率等于输出的功率。因此,机械的功率是定值,等于力乘以速度,可以得到下式

 

理想机械利益是输出力和输入力的比值

 

若考虑功率守恒的关系式,可得机械利益和速比之间的关系:

 

机械的速比可以用其几何尺寸来计算,因此可以用速比求得理想机械利益,也就是实际机械利益的上限。

实际机械利益

实际机械利益 (actual mechanical advantage、AMA)是在直接量测输入力及输出力所得的机械利益,其中有考虑因为形变、摩擦及磨损产生的能量损失。

机器的AMA可以用量测到的输入力及输出力来计算

 

实际机械利益和机械利益之间的比例即为机械效率η

 

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参考资料

  1. ^ 1.0 1.1 Uicker, John J.; Pennock, G. R.; Shigley, J. E. Theory of machines and mechanisms. New York: Oxford University Press. 2011. ISBN 978-0-19-537123-9. 
  2. ^ Usher, A. P. A History of Mechanical Inventions. Harvard University Press (reprinted by Dover Publications 1988). 1929: 94 [7 April 2013]. ISBN 978-0-486-14359-0. OCLC 514178. (原始内容存档于2020-07-26). 
  3. ^ Ned Pelger, ConstructionKnowledge.net 页面存档备份,存于互联网档案馆

外部链接