旋转因子

旋转因子原来是指在库利－图基快速傅里叶变换算法的蝴蝶形运算中所乘上的复数常数，因此常数在复数平面上位于单位圆之上，对于被乘数在复数平面上面会有旋转的效果，故名为旋转因子，后来也会用来指称FFT中的任一常数乘法。

定义

先观察N点DFT的公式如下

$X[k]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j(2\pi nk/N)}\qquad k=0,1,\ldots ,N-1$

在这里定义旋转因子(twiddle factor)为：

$W_{N}^{kn}=e^{-j(2\pi nk/N)}$

其中kn项称为Numerator，N项称为Denominator

特性

旋转因子具有以下两种特性

• 共轭复数对称性(Complex conjugate symmetry)

$W_{N}^{k[N-n]}=W_{N}^{-kn}=(W_{N}^{kn})^{*}$

• 对n,k有周期性(Periodicity in n and k)

$W_{N}^{kn}=W_{N}^{k(n+N)}=W_{N}^{(k+N)n}$