广义相对论中的数学

狭义相对论

狭义相对论中,微积分矩阵为其所用到的主要数学工具,配合闵可夫斯基时空的转换以及劳伦兹不变量的使用,粗略地描述了的性质。当s'坐标系在s坐标系沿x轴作等速v运动时,其转换以以下方程表示:

 
 
 
 

其具有以下不变形式:

 

或者写成微分形式

 

在适当地选取坐标系可使 

对于牛顿力学中的动量、能量作了以下的修正:

 
 

其中

 ,: 为物质在静止下的质量

能量和动量有以下关系:

 

广义相对论

狭义相对论仅限于等速、时空可近似平坦地情况下,然而在讨论大尺度且有引力场的情况下,就必须使用广义相对论

爱因斯坦认为,惯性坐标系并没有优于其他坐标系,一切的物理定律应在任何参考坐标系下皆成立,所有的变换应都是协变的。因此,在其论文中,大量地使用称之为张量(Tensor)的数学工具,其方程往往是非线性的,因此很难求解。

数学形式

一小段弧长ds平方的不变式

 

 度规张量

  逆变张量


质点沿测地线运动,测地线方程可以用哈密顿原理或是平行位移(parallel transportation)等方式推导,以下为测地线方程:

 

 克里斯多福符号

在非欧式空间中,描述空间曲率的张量为黎曼-克里斯多福张量

 

参考文献

外部链接