四维频率

本条目中,矢量标量分别用粗体斜体显示。例如,位置矢量通常用 表示;而其大小则用 来表示。四维矢量用加有标号的斜体显示。例如,。为了避免歧意,四维矢量的斜体与标号之间不会有括号。例如,表示平方;而的第二个分量。

电磁学里,平面电磁波四维频率 以公式定义为

其中, 是电磁波的频率 是朝着电磁波传播方向的单位矢量

四维频率与自己的内积永远等于零:

类似地,四维角频率 以公式定义为

其中, 是电磁波的角频率

显然地,

四维波矢 与四维角频率有密切的关系,定义为

其中, 是电磁波的波矢

在本篇文章里,闵可夫斯基度规的形式被规定为 ,这是参考了约翰·杰克森John D. Jackson)的著作《经典电动力学》中所采用的形式;并且使用了经典的张量代数以及爱因斯坦求和约定

洛伦兹变换

给予两个惯性参考系    ;相对于参考系   ,参考系   以速度   移动。对于这两个参考系,相关的洛伦兹变换矩阵  [1]

 

其中, 洛伦兹因子 贝塔因子    分别是参考系   对于参考系   的 x-轴、y-轴、z-轴方向的相对速度     的贝塔因子。

设定一个朝着   方向传播于真空的平面电磁波,对于参考系   ,这平面电磁波以公式表达为

 
 

其中,   分别是电磁波的电场磁场   分别是其波幅  是四维波矢, 四维位置  是位置,   分别垂直于   ,而且  

那么,对于参考系   ,这平面电磁波以公式表达为

 
 

四维波矢    之间的关系为

 

经过一番运算,可以求得

 

其中,  是参考系   相对于参考系  四维速度  是参考系   相对于参考系   的速度。

在真空里,四维频率与四维波矢之间的关系为

 

所以,

 

这也是参考系   的观察者所观察到的频率。

参阅

参考文献

  1. ^ Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 543–548, 1999, ISBN 978-0-471-30932-1