否定后件

在经典逻辑中，否定后件（拉丁语：modus tollens）有如下论证形式：

如果P，则Q。

非Q。

所以，非P。

它也可也被认为是否定结论，是一种有效的认证形式。

否定后件有时会与归谬法 (Proof by contradiction)（假设命题的否定成立，证明这会导致矛盾）或者反证法 (Proof by contrapositive)（证明如果P则Q，通过证明如果非Q则非P的方法实现）相混淆。

例子

归谬法的例子如下：

假定 $G$ 是一个有限循环群，且 $G$ 是单群，则 $G$ 的阶为质数。
也就是说，
若 $G$ 的阶不是质数，则 $G$ 不是有限循环群，或者 $G$ 不是单群。
证明：
- 假定原论述不成立，那么就表示“ $G$ 的阶不是质数”是错的
- 也表示说“若 $G$ 的阶不是质数，则 $G$ 不是有限循环群，或者 $G$ 不是单群。”是错的
- 这就表示“有个集合 $G$ 是有限循环群，且 $G$ 是单群”，而且“ $G$ 的阶不是质数”
- 现在假定 $G$ 的阶是 $n$ ，生成元是 $a$ ， $G$ 单位元则记做 $e$ ，因此有 $e=a^{n}$
- 由于 $G$ 是循环群，因此 $G$ 且 $a$ 是生成元，因此 $G$ 的所有元素都可表示成 $a^{k}$ 的形式，其中 $0\leq k<n$ ；又 $n$ 不是不是质数，因此存在两个大于等于2的正整数 $p$ 和 $q$ ，使得 $n=pq$
- 由此可知， $a^{p}$ 是 $G$ 的元素，且 $(a^{p})^{q}=a^{pq}=a^{n}=e$
- 所有形如 $(a^{p})^{y}=a^{py}$ 的元素可构成 $G$ 的一个真子群 $H$ ，且 $H\neq \{e\}$ 。
- 由于 $G$ 是循环群，因此 $G$ 是一个交换群。
- 由于 $G$ 是交换群，因此 $G$ 的所有子群都是正规子群。
- $H$ 是 $G$ 的一个真子群。
- $H$ 是 $G$ 的一个正规子群。
- $G$ 有 $\{e\}$ 和自身以外的正规子群，此与 $G$ 是单群的假设矛盾。
- 这表示先前的假设“‘若 $G$ 的阶不是质数，则 $G$ 不是有限循环群，或者 $G$ 不是单群。’是错的”这条是错的。
- 因此原论述“假定 $G$ 是一个有限循环群，且 $G$ 是单群，则 $G$ 的阶为质数。”是对的。