否定后件

经典逻辑中,否定后件拉丁语modus tollens)有如下论证形式:

如果P,则Q。
非Q。
所以,非P。

它也可也被认为是否定结论,是一种有效的认证形式。

否定后件有时会与归谬法 (Proof by contradiction)(假设命题的否定成立,证明这会导致矛盾)或者反证法 (Proof by contrapositive)(证明如果P则Q,通过证明如果非Q则非P的方法实现)相混淆。

例子

归谬法的例子如下:

  • 假定 是一个有限循环群,且 单群,则 质数
  • 也就是说,
  •  不是质数,则 不是有限循环群,或者 不是单群。
  • 证明:
    • 假定原论述不成立,那么就表示“ 不是质数”是错的
    • 也表示说“若 不是质数,则 不是有限循环群,或者 不是单群。”是错的
    • 这就表示“有个集合 是有限循环群,且 单群”,而且“ 不是质数
    • 现在假定 的阶是 ,生成元是  单位元则记做 ,因此有 
    • 由于 循环群,因此  是生成元,因此 的所有元素都可表示成 的形式,其中 ;又 不是不是质数,因此存在两个大于等于2的正整数  ,使得 
    • 由此可知,  的元素,且 
    • 所有形如 的元素可构成 的一个真子群 ,且 
    • 由于 是循环群,因此 是一个交换群
    • 由于 是交换群,因此 的所有子群都是正规子群
    •   的一个真子群。
    •   的一个正规子群。
    •   和自身以外的正规子群,此与 单群的假设矛盾。
    • 这表示先前的假设“‘若 不是质数,则 不是有限循环群,或者 不是单群。’是错的”这条是错的。
    • 因此原论述“假定 是一个有限循环群,且 单群,则 质数。”是对的。

证明

步骤 命题 推论
1   已知
2   已知
3   实质条件 (1)
4   选言三段论 (3,2)

参见