函数域

在代数几何中，一个整概形 $X$ 的函数域 $K_{X}$ 由 $X$ 上的有理函数组成；对于一般的概形，相应的对象是有理函数层。双有理几何研究的便是由 $K_{X}$ 所决定的几何性质。

整概形的情形

定义

若 $X$ 是仿射整概形， $U\subset X$ 为开集，则定义 $K_{X}(U)$ 为 ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ 的分式域。此时 $K_{X}$ 是 ${\mathcal {O}}_{X}(X)$ 的分式域的常数层。

若 $X$ 是整概形，而非仿射概形，则任何非空仿射开集都稠密。对任何开集 $U\subset X$ ，可以一致地定义 $K_{X}(U):=K_{V}(U\cap V)$ ，其中 $V$ 是任一非空仿射开集；这仍然是对应到一个域的常数层，该域称之为 $X$ 的函数域。另一种等价定义是 ${\mathcal {O}}_{X}$ 在一般点的茎。

函数域与维度

设 $k$ 为域， $X$ 为不可约 $k$ -代数簇，则 $K_{X}$ 是 $k$ 的域扩张，有时也写作 $k(X)$ 。此扩张的超越次数等于 $\dim X$ ，此命题可以化约到仿射簇的情形，再以诺特正规化引理证明。

例子

$\mathbb {Z}$ 的函数域是 $\mathbb {Q}$ 。

以下设 $k$ 为域。

单点 $\mathrm {Spec} (k)$ 的函数域是 $k$ 本身。
仿射直线 $\mathbb {A} _{k}^{1}$ 与射影直线 $\mathbb {P} _{k}^{1}$ 的函数域都是 $k(t)$ ，其中 $t$ 是 $k$ 上的超越元。
考虑平面曲线 $y^{2}=x^{5}+1$ ，其函数域是 $k(x,y)$ ，其中 $x,y$ 是 $k$ 上满足 $y^{2}=x^{5}+1$ 的超越元；一般代数曲线的函数域可以依此类推。当 $k$ 为有限域时， $k$ -代数曲线的函数域与数域之间有深刻的类比。

一般概形的情形

当 $X$ 不是整概形时， ${\mathcal {O}}_{X}$ 在开集上的截面可能有零因子，此时分式域并不存在（详见 Kleiman 的文章）。正解如下：

对任一开集

U\subset X

，令

S_{U}

为

{\mathcal {O}}_{X}(U)

中的非零因子集，这是一个积性集。命

K_{X}^{p}(U):=S_{U}^{-1}{\mathcal {O}}_{X}(U)

（即

{\mathcal {O}}_{X}(U)

的全分式环）。

K_{X}^{p}

构成

X

上的预层。令

K_{X}

为其层化，此即

X

的有理函数层，它是

{\mathcal {O}}_{X}

-代数构成的层。

若 $X$ 局部上可以分解成有限个整概形 $X=\bigcup X_{i}$ （这对局部诺特概形皆成立），则对任何开集 $U$ 有

K_{X}(U)=\bigoplus _{X_{i}\cap U\neq \emptyset }K_{X_{i}}

此时 $K_{X}$ 是 $X$ 上的拟凝聚层。

与亚纯函数域的关系

在复代数几何中，基本的对象是不可约复解析簇，其上能局部地开展复分析，由此可以定义复解析簇上的亚纯函数；亚纯函数域是该簇上的亚纯函数之集合。在不可约 $\mathbb {C}$ -代数簇上，有理函数必为亚纯函数，反之则不然（考虑 $\mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}$ ）；若加上紧致条件，则可证明此时亚纯函数域确等于有理函数域。

文献

Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique 2nd edition. Berlin; New York: Springer-Verlag. 1971. ISBN 978-3-540-05113-8 （法语）.
Kleiman, S., "Misconceptions about K_X", Enseign. Math. 25 (1979), 203-206