鞍點(英語:Saddle point)指一個非局部極值點駐點。鞍點這詞語來自於不定二次型的二維圖形,像個馬鞍:在x-軸方向往上曲,在y-軸方向往下曲。

的鞍點在 (0,0)

數學描述

廣義而說,一個光滑函數曲線曲面超曲面)的鞍點鄰域的曲線、曲面或超曲面,都位於馬鞍點點的切線的不同邊。

檢驗

檢驗二元實函數F(x,y)的駐點是不是鞍點的一個簡單的方法,是計算函數在這個點的黑塞矩陣:如果該矩陣行列式小於0,則該點就是鞍點。例如,函數 在駐點 黑塞矩陣是:

 

此矩陣有兩個特徵值2,-2。它的行列式小於0,因此,這個點是鞍點。然而,這個條件只是充分條件,例如,對於函數  是一個鞍點,但函數在原點的黑塞矩陣零矩陣,並不小於0。

對於一般的多元函數,點是鞍點的必要條件是該點的黑塞矩陣不定。

性質

 
 的鞍點在 (0,0),不過一維鞍點看起來並不像馬鞍

在一維空間裏,鞍點是駐點,也是反曲點。因為函數圖形在鞍點由凸轉凹,或由凹轉凸,鞍點不是區域性極點

設一個只有一個變數的函數。這函數在鞍點的一次導數等於零,二次導數換正負符號·例如,函數  就有一個鞍點在原點。

 
兩座山中間的鞍點(雙紐線的交叉點)

設一個擁有兩個以上變數的函數。它的曲面在鞍點好像一個馬鞍,在某些方向往上曲,在其他方向往下曲。在一幅等高線圖裏,一般來說,當兩個等高線圈圈相交叉的地點,就是鞍點。例如,兩座山中間的山口就是一個鞍點。

參見

參考文獻