覆疊空間

在拓撲學中，拓撲空間$X$的覆疊空間是一對資料$(Y,p)$，其中$Y$是拓撲空間，$p:Y\to X$是連續的滿射，並存在$X$的一組開覆蓋

$X=\bigcup _{U\in {\mathcal {U}}}U$

使得對每個$U\in {\mathcal {U}}$，存在一個離散拓撲空間$F$及同胚：$\phi _{U}:U\times F\simeq p^{-1}(U)$，而且$p\circ \phi _{U}:U\times F\to U$是對第一個坐標的投影。

滿足上述性質的$p:Y\to X$稱為覆疊映射。當$X$連通時，$F$的基數是個常數，稱為覆疊的次數或重數。

空間$X$的覆疊構成一個範疇$\mathbf {Cov} _{X}$，其對象形如$p:Y\to X$，從$p:Y\to X$到$q:Z\to X$態射是連續映射$f:Y\to Z$，且$q\circ f=p$。

例子

覆疊空間的例子：$\mathbb {R} \to \mathbb {S} ^{1}$

• 考慮映射$p:\mathbb {R} \to \mathbb {S} ^{1}$，$p(x)=e^{2\pi ix}$。對任意$s=e^{2\pi it}\in \mathbb {S} ^{1}$，取其開鄰域

$U:=\{e^{2\pi is}:|s-t|<{\frac {1}{2}}\}\simeq (-1/2,1/2)$

$f:(-1/2,1/2)\times \mathbb {Z} {\stackrel {\sim }{\to }}p^{-1}(U),\quad f(t,n)=t+n$

由此可見$p:\mathbb {R} \to \mathbb {S} ^{1}$是覆疊映射。

• 莫比烏斯帶的二重覆疊空間是 $\mathbb {S} ^{1}\times [0,1]$。

性質

局部性質 對於任何一個覆疊$p:C\to X$都是一個局部同胚，這就是說，對任意的$c\in C$，都存在一個在C中的開鄰域U，和p(c)在X中的開鄰域V，使得p在U上的限制誘導U到V上的同胚。這說明C和X在局部上的拓撲性質是一樣的。如果X是單連通的且C是連通的，則在整體上也成立，並且覆疊p變為同胚。 纖維上的同胚

萬有覆疊空間

連通空間$X$的萬有覆疊空間（若其存在）是範疇$\mathbf {Cov} _{X}$的初始對象$u:{\tilde {X}}\to X$，換言之，對每個覆疊$p:X'\to X$，存在唯一的連續映射$f:{\tilde {X}}\to X'$使得$p\circ f=u$。萬有覆疊若存在則必唯一。之前的$\mathbb {R} \to \mathbb {S} ^{1}$便是一例。

若要求$X$局部道路連通且局部單連通，則萬有覆疊空間存在。這類空間的主要例子有流形和單純複形。在同樣前提下，覆疊${\tilde {X}}\to X$是萬有覆疊的充要條件是基本群$\pi _{1}({\tilde {X}},*)=\{e\}$。

正則覆疊及主叢

以下同樣要求$X$連通、局部道路連通且局部單連通。對於覆疊映射$p:Y\to X$，選定$x\in X$。在$\mathbf {Cov} _{X}$中的自同構群$\mathrm {Aut} (p)$在纖維$p^{-1}(x)$上的作用是自由的（即：$\mathrm {Aut} (p)\to \mathrm {Aut} (p^{-1}(x))$是單射），對於$x\in X$的不同選取，此作用僅差個自然的同構。

若$\mathrm {Aut} (p)$的作用是傳遞的，則稱$p:Y\to X$為正則覆疊。萬有覆疊必正則，反之則不然。按照纖維叢的觀點，覆疊空間正是離散纖維的纖維叢，正則覆疊對應到主叢。

文獻

• Hatcher, Allen. Algebraic Topology. Cambridge University Press. 2002 [2008-05-15]. ISBN 0-521-79540-0. （原始內容存檔於2018-05-19）.