自伴算子

數學、尤其是泛函分析中,向量空間 上的自伴算子是一類特殊的線性算子自同態),其伴隨算子是其自身。根據不同的需要,可以討論 拓撲向量空間賦範向量空間巴拿赫空間乃至希爾伯特空間的情況,使得伴隨算子、自伴算子可以具有更豐富的性質,一個重要的例子是希爾伯特空間上自伴算子的譜定理

是具有規範正交基的有限維複向量空間,其上自伴算子在該基下的矩陣埃爾米特矩陣——該矩陣等於自身的共軛轉置。有限維的譜定理表明,對於一個算子 ,總能找到 上的規範正交基使得 在該基下的矩陣是一個對角矩陣,且這些對角元都是實數

無窮維希爾伯特空間上的自伴算子的譜定理與此類似:一個算子是自伴的,當且僅當其等價於一個實值乘法算子。不過,黑林格-特普利茨定理表明了定義於全空間的自伴算子必然是有界的,從而無界算子至多只能定義在全空間的一個稠密子空間上,故對於無界算子須對定義域的問題多加注意。定義域的問題造成了對稱算子和自伴算子的區分,而這區分對於譜定理等結論而言是至關重要的。

自伴算子在量子力學中也有重要地位。在量子力學公理的狄拉克-馮紐曼表述英語Dirac–von Neumann axioms中,位置動量角動量自旋等物理可觀測量是由希爾伯特空間上的自伴算子表示。在哈密頓算子的譜(能階)具有重要的物理意義的同時,哈密頓算子中的動能項通常由導數算子構成,而無窮維空間中的導數算子是典型的無界算子。

量子力學

量子力學裏,自伴算子,又稱為自伴算符,或厄米算符Hermitian operator),是一種等於自己的厄米共軛算符。給予算符 和其伴隨算符 ,假設  ,則稱 為厄米算符。厄米算符的期望值可以表示量子力學中的物理量。

可觀察量

由於每一種經過測量而得到的物理量都是實值的。所以,可觀察量 的期望值是實值的:

 

對於任意量子態 ,這關係都成立;

 

根據伴隨算符的定義,假設  的伴隨算符,則 。因此,

 

這正是厄米算符的定義。所以,表示可觀察量的算符 ,都是厄米算符。

可觀察量,像位置動量角動量,和自旋,都是用作用於希爾伯特空間的自伴算符來代表。哈密頓算符 是一個很重要的自伴算符,表達為

 

其中, 是粒子的波函數 約化普朗克常數 質量 位勢

哈密頓算符所代表的哈密頓量是粒子的總能量,一個可觀察量

動量是一個可觀察量,動量算符應該也是厄米算符:選擇位置空間,量子態 的波函數為 

 

對於任意量子態  。所以,動量算符確實是一個厄米算符。

參考文獻

  • Rudin, Walter. Functional Analysis. Boston, Mass.: McGraw-Hill Science, Engineering & Mathematics. 1991. ISBN 978-0-07-054236-5. 
  • Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward. Topological vector spaces. Monographs and textbooks in pure and applied mathematics 2. ed. Boca Raton: CRC Press. 2011. ISBN 978-1-58488-866-6. 
  • Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004: pp. 96–106. ISBN 0-13-111892-7.