笛卡兒積

两个集合中所有有序对组成的集合

數學中,兩個集合笛卡兒積(英語:Cartesian product),又稱直積,在集合論中表示為,是所有可能的有序對組成的集合,其中有序對的第一個對象是的成員,第二個對象是的成員。

的笛卡爾積

舉個實例,如果集合是13個元素的點數集合,而集合是4個元素的花色集合♠, ♥, ♦, ♣,則這兩個集合的笛卡兒積是有52個元素的標準撲克牌的集合

笛卡兒積得名於笛卡兒,因為這概念是由他建立的解析幾何引申出來。

笛卡兒積的性質

易見笛卡兒積滿足下列性質:

  • 對於任意集合 ,根據定義有 
  • 一般來說笛卡兒積不滿足交換律結合律
  • 笛卡兒積對集合的滿足分配律,即
 
 
 
 
 
  • 若一個集合 包含有無限多的元素,那這個集合對自身的笛卡爾積 有和 一樣多的元素。

笛卡兒平方和n元乘積

集合 笛卡兒平方(或二元笛卡兒積)是笛卡兒積 。一個例子是二維平面 ,(這裏 實數集) - 它包含所有的點 ,這裏的  是實數(參見笛卡兒坐標系)。

為了幫助枚舉,可繪製一個表格。一個集合作為行而另一個集合作為列,從行和列的集合選擇元素,以形成有序對作為表的單元格。

可以推廣到在 個集合 上的n-元笛卡兒積:

 

實際上,它可以被等同為 。它是n-元組的集合。

一個例子是歐幾里得三維空間 ,這裏的 同樣是指實數集。

無窮乘積

有限個集合可以看成某個一對一的有限集合序列  (因為序列是種以自然數系   為定義域的函數),而  值域恰好是預備要依序進行笛卡兒積的所有集合,換句話說:

 
 

這樣的話,若有函數   滿足:

 

那就等價於

 

換句話說,函數   可以看做   裏的一個n-元組,而這就是以下無窮乘積定義的直觀動機:

定義 —  集合族   的指標集,換句話說有指標函數   讓二者等勢

 

那以下的函數

 

被稱為集合族   關於指標函數  無窮乘積

更進一步的,若此時取一   ,則以下定義的函數  

  

被稱為  投影映射

在無限情況,一個令人熟悉的特例是,當索引集合是自然數集 的時候:這正是其中第i項對應於集合 的所有無限序列的集合。再次, 提供了這樣的一個例子:

 

是實數的無限序列的搜集,可視之為帶有無限個構件的向量或元組。另一個特殊情況(上述例子也滿足它)是在乘積中的各因子Xi都是相同的時候,類似於「笛卡兒指數」。這樣,在最先定義中的無限併集自身就是這個集合自身,而其他條件被平凡的滿足了,所以這正是從IX的所有函數的集合。

在別的情況,無限笛卡兒積就不那麼直觀了;儘管在高等數學中的應用有其價值。

「非空集合的任意非空搜集的笛卡兒積為非空」這一陳述等價於選擇公理

函數的笛卡兒積

如果 是從  的函數,而 是從  的函數,則它們的笛卡兒積 是從  的函數,帶有

 

跟之前類似,函數的笛卡兒積也可以擴展到函數的元組和無限情況。

參見

外部連結