狄利克雷定理

此條目頁的主題是數論中的定理。關於數學其他領域的狄利克雷定理，請見「狄利克雷定理 (消歧義)」。

狄利克雷定理是狄利克雷於1837年發表的數論中關於質數在同餘類中分佈的定理：對於任意互質正整數對$(r,N)$，模$N$同餘$r$的質數集合$\{x|r\equiv x{\bmod {N}};x\ is\ prime\}$相對質數集合$\{x|x\ is\ prime\}$的密度為${\frac {1}{\phi (N)}}$。

定理內容

狄利克雷定理表明：

若 $r,N$ 互質，則$\lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x;N,r)}{\pi (x)}}={\frac {1}{\phi (N)}}$

其中，$\phi (N)$為歐拉函數，$\pi (x)$為質數計數函數，$\pi (x;N,r)$為模$N$同餘$r$集合中小於$x$的質數個數。

質數在同餘類中的分佈

狄利克雷定理揭示了質數在同餘類中的分佈。

形象地說，在模$N$同餘類中，除去不包含或僅包含有限個質數的同餘集合，質數的分佈是大致均勻的。

• 以$N=6$為例：共有$[0],[1],[2],[3],[4],[5]$共$6$個模$N$同餘集合，其中同餘集合$[0],[2],[3],[4]$不包含或只含有限個質數，剩下的質數近乎等概率地分佈在同餘集合$[1],[5]$中：

在不大於$10,000$的質數中，質數在$[1],[5]$中的比率分別為$49.67\%$和$50.16\%$；

在不大於$100,000$的質數中，質數在$[1],[5]$中的比率分別為$49.88\%$和$50.10\%$；

在不大於$1,000,000$的質數中，質數在$[1],[5]$中的比率分別為$49.98\%$和$50.02\%$。

• 以$N=8$為例：共有$[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7]$共$8$個模$N$同餘集合，其中同餘集合$[0],[2],[4],[6]$不包含或只含有限個質數，剩下的質數近乎等概率地分佈在同餘集合$[1],[3],[5],[7]$中：

不大於$10,000$的質數中，質數在$[1],[3],[5],[7]$中的比率分別為$23.98\%,25.28\%,25.53\%$和$25.12\%$；

在不大於$100,000$的質數中，質數在$[1],[3],[5],[7]$中的比率分別為$24.85\%,25.12\%,25.01\%$和$25.01\%$；

在不大於$1,000,000$的質數中，質數在$[1],[3],[5],[7]$中的比率分別為$24.91\%,25.04\%,25.00\%$和$25.06\%$；

相關定理

• 歐幾里得證明了有無限個質數，即有無限多個質數的形式如$2n+1$。
• 算術級數的質數定理：若$a,d$互質，則有

$\sum _{p\leq x\quad p\equiv a{\pmod {d}}}1\sim {\frac {1}{\phi (d)}}{\frac {x}{\ln(x)}}$。

其中φ是歐拉函數。取$d=2$，可得一般的質數定理。

• 林尼克定理說明了級數中最小的質數的範圍：算術級數$a+nd$中最小的質數少於$cd^{L}$，其中$L$和$c$均為常數，但這兩個常數的最小值尚未找到。
• 柴伯塔瑞夫密度定理是在狄利克雷定理在伽羅瓦擴張的推廣。

歷史

歐拉曾以$\sum {\frac {1}{p}}=\infty$，來證明質數有無限個。約翰·彼得·狄利克雷得以靈感，藉助證明$\sum _{p\equiv a{\pmod {d}}}{1/p}=\infty$來證明算術級數中有無限個質數。這個定理的證明中引入了狄利克雷L函數，應用了一些解析數學的技巧，是解析數論的重要里程碑。

推廣

這個定理的一些推廣形式，但是都還只是未被證明的猜想而已，並不是定理。

• 布尼亞科夫斯基猜想，推廣至>=2次的多項式
• 狄克森猜想，推廣至>=2個多項式
• 欣策爾假設H，上述兩個推廣合併

參考

• T. M. Apostol (1976). Introduction to Analytic Number Theory. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90163-9. Chapter 7