漸伸線

漸伸線（involute）(或稱漸開線(evolvent))和漸屈線（evolute）是曲線的微分幾何上互為表裏的概念。若曲線A是曲線B的漸伸線，曲線B是曲線A的漸屈線。

在曲線上選一定點S。有一動點P由S出發沿曲線移動，選在P的切線上的Q，使得曲線長SP 和直線段長PQ 相同。漸伸線就是Q的軌跡。

若曲線B有參數方程$r:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$，其中$|r^{\prime }(s)|=1$，曲線A的方程為$t\mapsto r(t)-tr^{\prime }(t)$。

曲線的漸屈線是該曲線每點的曲率中心的集。

若該曲線有參數方程$r:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$（$|r^{\prime }(s)|=1$），則其漸屈線為

$s\to r(s)+{r''(s) \over |r''(s)|^{2}}$。

每條曲線可有無窮多條漸伸線，但只有一條漸屈線。

漸屈線	漸伸線
懸鏈線	曳物線
圓內螺線／外擺線	相似的圓內螺線／外擺線
擺線	相同的擺線
半立方拋物線	拋物線

參數化曲線

漸開線方程曲線的參數化定義的函數( x(t) , y(t) ) 是:

$X[x,y]=x-{\frac {x'\int _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}$

$Y[x,y]=y-{\frac {y'\int _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}$

範例

圓的漸伸線 (反向, by unwinding)

懸鏈線的漸開線是一個 曳物線。

圓的漸伸線

圓的漸伸線會形成一個類似阿基米德螺線的圖形。

• 在笛卡兒坐標系中，一個圓的漸開線的參數方程可以寫成：

$\,x=a\left(\cos \ t+t\sin \ t\right)$

$\,y=a\left(\sin \ t-t\cos \ t\right)$

其中$\,a$是圓的半徑，$\,t$為參數

• 在 極坐標系中， $\,r,\theta$ 一個圓的漸開線的參數方程可以寫成：

$\,r=a\sec \alpha$

$\,\theta =\tan \alpha -\alpha$

其中 $\,a$ 是圓的半徑 $\,\alpha$為參數

通常，一個圓的漸開線常被寫成寫成：

$\,r=a{\sqrt {1+t^{2}}}$

$\,\theta =\arctan {\frac {\cos t+t\sin t}{\sin t-t\cos t}}$.

歐拉建議使用圓的漸開線作為齒輪的形狀, 這個設計普遍存在於目前使用，稱為漸開線齒輪。

懸鏈線的漸開線

一個懸鏈線的漸開線 會通過此懸鏈線的頂點 ，形成曳物線。 在笛卡兒坐標系中，一個懸鏈線的漸開線的參數方程可以寫成：

$x=t-\mathrm {tanh} (t)\,$

$y=\mathrm {sech} (t)\,$

其中t 是參數，而sech是雙曲正割函數(1/cosh(x))

衍生

用$r(s)=(\sinh ^{-1}(s),\cosh(\sinh ^{-1}(s)))\,$

我們得到 $r^{\prime }(s)=(1,s)/{\sqrt {1+s^{2}}}\,$

且$r(t)-tr^{\prime }(t)=(\sinh ^{-1}(t)-t/{\sqrt {1+t^{2}}},1/{\sqrt {1+t^{2}}})$。

替代成$t={\sqrt {1-y^{2}}}/y$

可得到 $({\rm {sech}}^{-1}(y)-{\sqrt {1-y^{2}}},y)$。

擺線的漸開線

一個 擺線的漸開線是另一個與它 全等的擺線 在笛卡兒坐標系中，一個擺線的漸開線的參數方程可以寫成：

$x=r(t-\sin(t))\,$

$y=r(1-\cos(t))\,$

其中t是角度，r是半徑

參見

• 漸屈線
• 渦旋壓縮機
• 漸開線齒輪

外部連結

• Xah: Special Plane Curves: Involute （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, Evolute （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Mathworld （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）