格拉姆-施密特正交化

線性代數中,如果內積空間上的一組向量能夠組成一個子空間,那麼這一組向量就稱為這個子空間的一個基。Gram-Schmidt正交化提供了一種方法,能夠通過這一子空間上的一個基得出子空間的一個正交基,並可進一步求出對應的標準正交基

線性代數
向量 · 向量空間 · 基底  · 行列式  · 矩陣

這種正交化方法以約爾根·佩德森·格拉姆英語Jørgen Pedersen Gram艾哈德·施密特英語Erhard Schmidt命名,然而比他們更早的拉普拉斯(Laplace)和柯西(Cauchy)已經發現了這一方法。在李群分解中,這種方法被推廣為岩澤分解(Iwasawa decomposition)。

數值計算中,Gram-Schmidt正交化是數值不穩定的,計算中累積的捨入誤差會使最終結果的正交性變得很差。因此在實際應用中通常使用豪斯霍爾德轉換Givens旋轉進行正交化。可以用於矩陣計算。

記法

  •  維數n 的內積空間
  •   中的元素,可以是向量、函數,等等
  •    內積
  •    …… 張成的子空間
  •    上的投影

基本思想

 
圖1   上投影,構造 上的正交基 

Gram-Schmidt正交化的基本想法,是利用投影原理在已有正交基的基礎上構造一個新的正交基。

   上的 維子空間,其標準正交基為 ,且 不在 上。由投影原理知, 與其在 上的投影 之差

 


是正交於子空間 的,亦即 正交於 的正交基 。因此只要將 單位化,即

 

那麼 就是  上擴展的子空間 的標準正交基。

根據上述分析,對於向量組 張成的空間  ( ),只要從其中一個向量(不妨設為 )所張成的一維子空間 開始(注意到 就是 的正交基),重複上述擴展構造正交基的過程,就能夠得到  的一組正交基。這就是Gram-Schmidt正交化

算法

首先需要確定已有基底向量的順序,不妨設為 。Gram-Schmidt正交化的過程如下:

   
   
   
   
   

這樣就得到 上的一組正交基 ,以及相應的標準正交基 


考察如下歐幾里得空間Rn中向量的集合,歐氏空間上內積的定義為<a, b> = bTa

 

下面作Gram-Schmidt正交化,以得到一組正交向量:

 
 

下面驗證向量  的正交性:

 

將這些向量單位化:

 
 

於是 就是   的一組標準正交基底。

不同的形式

隨着內積空間上內積的定義以及構成內積空間的元素的不同,Gram-Schmidt正交化也表現出不同的形式。

例如,在實向量空間上,內積定義為:

 

在複向量空間上,內積定義為:

 

函數之間的內積則定義為:

 

與之對應,相應的Gram-Schmidt正交化就具有不同的形式。

參見

外部連結