數系
數系的邏輯
自然數
皮亞諾〔Giuseppe Peano〕替自然數建立以下的定義：
- 自然數中有0。
- 每一個自然數都必須有下一個自然數，並以S(a)表示。
- 自然數0前沒有自然數。
- 不同的自然數的下一個自然數都不同，即a=b即代表S(a)=S(b)，相反亦成立。
- 若一個特性0擁有，而往後的自然數都擁有，這特性則視為自然數擁有。
根據皮亞諾公理這五個定義，所有自然數的特性皆可推斷。而數一則以1=S(0)表示。
數系皆擁有等價關係，即：
- 自反性：
- 對稱性：
- 傳遞性：
定義下自然數可進行運算，以下為加法的定義：
- a + 0 = a
- a + S(b) = S(a + b)
〔這暗示S(a) = S(a + 0) = a + S(0) = a + 1，所以以下S(x)皆會寫成x + 1〕
以下為乘法的定義：
- a × 0 = 0
- a × (b + 1) = a × b + a
〔a × b亦可寫成a ‧ b或是ab〕
以下為指數的定義：
- a0 = 1
- ab + 1 = ab × a
〔ab亦會寫成a ^ b或是a ** b，特別是當上標不可使用的時候〕
整數
自然數可以以下方式擴展成整數，每一個非零的自然數a，就會出現一個整數-a，而它不是一個自然數。特別情形-0則定義為自然數0。後續函數亦可以S(-a) = - S(a - 1)的法則擴展至整數。
加法將以以下方法定義：
- 若a及b皆自然數，則-a + -b = -(a + b)。
- 若a為整數，則a + 0 = a。
- 若b為一非零整數，則a + b = (a - 1) + S(b)。
減法定義與加法相同，即a - b = a + - b。
乘法定義與自然數定義相同，但加入負負得正，負正得負的理念：
- 若a及b皆自然數，則a × -b = -a × b = -(ab)
- 若a及b皆自然數，則-a × -b = a × b = ab
有理數是整數（正整數、0、負整數）和分數的統稱，是整數和分數的集合。
由於任何一個整數或分數都可以化為十進製循環小數，反之，每一個十進製循環小數也能化為整數或分數，因此，有理數也可以定義為十進製循環小數。
在實數範圍內有理數和無理數都有無窮多個，兩者似乎是「同樣多」的。但從高等數學裏的「測度論」的角度來理解的話，無理數的測度要大於有理數的測度，所以無理數要比有理數「多一些」。如：根據測度論，在閉區間[0,1]內，有理數的測度為0，而無理數的測度為1。所以，在閉區間[0,1]內，無理數的個數要「遠多於」有理數的個數。
無理數,也稱為無限不循環小數,不能寫作兩整數之比。四種常見的無理數有無限不循環小數、含有π的數、開方開不盡的數、某些三角函數值。
判斷一個數是不是無理數，關鍵就看它能不能寫出無限不循環小數。
常見的無理數類型有如下幾種。
1.無限不循環小數：如圓周率π、自然對數的底數e等。 2.根式中開方開不盡的數：如2的平方根、5的立方根、7的四次方根等。
【注】
- 兩個有理數的和、差、積、商（除數不為0）仍是有理數。
- 兩個無理數的和、差、積、商可以是有理數，也可以是無理數。
- * # （1）無理數的和、差、積、商為有理數：如e+(1-e)、e-e、「根號2」的平方、e/e等。
- * # （2）無理數的和、差、積、商為無理數：π+e、π-e、πxe，π/e。
若某複數a+bi中的b若等於0,此複數就為實數。
若某複數a+bi中的b不等於0,就為虛數。 此外，若a+bi中的a等於0,就為純虛數。