拉格朗日括號

拉格朗日括號是一種與泊松括號關係密切的運算,1808年至1810年間由約瑟夫·拉格朗日最早用於經典力學之中。不過與泊松括號相比,拉格朗日括號在今日已不常使用。

定義

令(q1, …, qn, p1, …, pn)為相空間中的正則坐標,且每一個坐標都可表示為兩個變量uv的函數,則uv的拉格朗日括號為:

 

性質

  • 拉格朗日括號與特定的正則坐標無關(q, p)。如取另一組正則坐標(Q,P) = (Q1, …, Qn, P1, …, Pn),滿足正則變換
 

此時拉格朗日括號不變,即

 

因而通常情況下會省略下標。

  • 如果2n維相空間W上有辛形式Ωu1,…,u2nW上的一個坐標系,那麼正則坐標(q,p)可表示為u的函數,而拉格朗日括號所組成的矩陣
 

表示在]Ω在坐標系u下的分量,可看作一個張量。這個矩陣是由泊松括號所組成的矩陣

 

逆矩陣

  • 由上述性質可以得到,相空間上的坐標(Q1, …, Qn, P1, …, Pn)是正則的,若且唯若它們之間的拉格朗日括號有如下形式:
 

參見

參考文獻

  • Cornelius Lanczos, The Variational Principles of Mechanics, Dover (1986), ISBN 0-486-65067-7.
  • Iglesias, Patrick, Les origines du calcul symplectique chez Lagrange [The origins of symplectic calculus in Lagrange's work], L'Enseign. Math. (2) 44 (1998), no. 3-4, 257--277. MR1659212