廣義逆陣

廣義逆（Generalized inverse），是線性代數中針對矩陣的一種運算。一個矩陣A的廣義逆叫做A的廣義逆陣，是指具有部份逆矩陣的特性，但是不一定具有逆矩陣的所有特性的另一矩陣。假設一矩陣$A\in \mathbb {R} ^{n\times m}$及另一矩陣$A^{\mathrm {g} }\in \mathbb {R} ^{m\times n}$，若$A^{\mathrm {g} }$滿足$AA^{\mathrm {g} }A=A$，則$A^{\mathrm {g} }$即為$A$的廣義逆陣。

廣義逆也稱為偽逆（pseudoinverse），有些時候，偽逆特指摩爾－彭若斯廣義逆。

建構廣義逆陣的目的是針對可逆矩陣以外的矩陣（例如非方陣的矩陣）可以找到一矩陣有一些類似逆矩陣的特性。任意的矩陣都存在廣義逆陣，若一矩陣存在逆矩陣，逆矩陣即為其唯一的廣義逆陣。有些廣義逆陣可以定義在和結合律乘法有關的數學結構（例如半群）中。

提出廣義逆陣的原因

考慮以下的線性方程

$Ax=y$

其中$A$為$n\times m$的矩陣，而$y\in {\mathcal {R}}(A)$ ， $A$的列空間。 若矩陣$A$為可逆矩陣，則$x=A^{-1}y$即為方程式的解。而若矩陣$A$為可逆矩陣

$AA^{-1}A=A$

假設矩陣$A$不可逆或是$n\neq m$，需要一個適合的$m\times n$矩陣$G$使得下式成立

$AGy=y$

因此$Gy$為線性系統$Ax=y$的解。 而同樣的，$m\times n$階的矩陣$G$也會使下式成立

$AGA=A$

因此可以用以下的方式定義廣義逆陣：假設一個$n\times m$的矩陣$A$，$m\times n$的矩陣$G$若可以使下式成立，矩陣$G$即為$A$的廣義逆陣

$AGA=A$

產生廣義逆陣

以下是一種產生廣義逆陣的方式：

1. 若$A=BC$為其秩分解，則$G=C_{r}^{-}B_{l}^{-}$為$A$的廣義逆陣，其中$C_{r}^{-}$為$C$的右逆矩陣，而$B_{l}^{-}$為$B$的左逆矩陣。
2. 若$A=P{\begin{bmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{bmatrix}}Q$，其中$P$及$Q$為可逆矩陣，則$G=Q^{-1}{\begin{bmatrix}I_{r}&U\\W&V\end{bmatrix}}P^{-1}$是$A$的廣義逆陣，其中$U,V$及$W$均為任意矩陣。
3. 令$A$為秩為$r$的矩陣，在不失一般性的情形下，令$A={\begin{bmatrix}B&C\\D&E\end{bmatrix}}$，其中$B_{r\times r}$為$A$的可逆子矩陣，則$G={\begin{bmatrix}B^{-1}&0\\0&0\end{bmatrix}}$為$A$的廣義逆陣。

廣義逆陣的種類

彭若斯條件可以用來定義不同的廣義逆陣：針對$A\in \mathbb {R} ^{n\times m}$及$A^{\mathrm {g} }\in \mathbb {R} ^{m\times n},$

1.)	$AA^{\mathrm {g} }A=A$
2.)	$A^{\mathrm {g} }AA^{\mathrm {g} }=A^{\mathrm {g} }$
3.)	$(AA^{\mathrm {g} })^{\mathrm {T} }=AA^{\mathrm {g} }$
4.)	$(A^{\mathrm {g} }A)^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {g} }A$

若$A^{\mathrm {g} }$滿足條件(1.)，即為$A$的廣義逆陣，若滿足條件(1.)和(2.)，則為$A$的廣義反身逆陣（generalized reflexive inverse），若四個條件都滿足，則為$A$的摩爾－彭若斯廣義逆。

以下是一些其他種類的廣義逆陣

• 單邊逆矩陣（左逆矩陣或是右逆矩陣）若矩陣A的維度是$n\times m$且為 滿秩，若$n>m$則用左逆矩陣，若$n<m$則用右逆矩陣。
  • 左逆矩陣為$A_{\mathrm {left} }^{-1}=\left(A^{\mathrm {T} }A\right)^{-1}A^{\mathrm {T} }$，也就是$A_{\mathrm {left} }^{-1}A=I_{m}$，其中$I_{m}$為$m\times m$單位矩陣。
  • 右逆矩陣為$A_{\mathrm {right} }^{-1}=A^{\mathrm {T} }\left(AA^{\mathrm {T} }\right)^{-1}$，也就是$AA_{\mathrm {right} }^{-1}=I_{n}$，其中 $I_{n}$為$n\times n$單位矩陣。
• 德拉任逆矩陣
• 博特-達芬逆矩陣
• 摩爾－彭若斯廣義逆

應用

任何一種廣義逆陣都可以用來判斷線性方程組是否有解，若有解時列出其所有的解。若以下n × m的線性系統有解存在

$Ax=b$

其中向量$x$為未知數，向量b為常數，以下是所有的解

$x=A^{\mathrm {g} }b+[I-A^{\mathrm {g} }A]w$

其中參數w為任意矩陣，而$A^{\mathrm {g} }$為$A$的任何一個廣義逆陣。解存在的條件若且唯若$A^{\mathrm {g} }b$為其中一個解，也就是若且唯若$AA^{\mathrm {g} }b=b$。

參考資料

• Yoshihiko Nakamura. * Advanced Robotics: Redundancy and Optimization. Addison-Wesley. 1991. ISBN 0201151987. 
• Zheng, B; Bapat, R. B. Generalized inverse A(2)T,S and a rank equation. Applied Mathematics and Computation. 2004, 155: 407–415. doi:10.1016/S0096-3003(03)00786-0. 
• S. L. Campbell and C. D. Meyer. Generalized Inverses of Linear Transformations. Dover. 1991. ISBN 978-0-486-66693-8. 
• Adi Ben-Israel and Thomas N.E. Greville. Generalized inverses. Theory and applications 2nd. New York, NY: Springer. 2003 [2016-07-08]. ISBN 0-387-00293-6. （原始內容存檔於2016-08-18）. 
• C. R. Rao and C. Radhakrishna Rao and Sujit Kumar Mitra. Generalized Inverse of Matrices and its Applications. New York: John Wiley & Sons. 1971: 240. ISBN 0-471-70821-6. 

相關條目

• 反元素
• 摩爾－彭若斯廣義逆
• 弱逆

外部連結

• 15A09 數學學科分類標準中對於反矩陣及廣義逆陣的分類 search