常層

數學中，拓撲空間X上與集合A相關聯的常層（constant sheaf）是X上的集合層，其莖全部等於A，記作${\underline {A}}$或$A_{X}$。值為A的常預層（constant presheaf）是為X的每個開子集賦A值的預層，其所有限制映射都是恆等映射$A\to A$。關聯於A的常層是關聯於A的常預層的層化。這個層等同於X上局部常的A-值函數的層。

有時，集合A可換成某範疇${\textbf {C}}$中的對象A（如${\textbf {C}}$是阿貝爾群範疇或交換環範疇）。

阿貝爾群的常層會作為係數出現於層上同調。

基本情形

設X為拓撲空間，A為集合。常層${\underline {A}}$在開集U上的截面可解釋為連續函數$U\to A$，其中A具有離散拓撲。若U連通，則這些局部常函數就是常的。若$f:X\to \{{\text{pt}}\}$是到單點空間的唯一映射，A被視作$\{{\text{pt}}\}$上的層，則逆像$f^{-1}A$是X上的常層${\underline {A}}$。${\underline {A}}$的層空間是射影映射A（其中$X\times A\to X$被賦予離散拓撲）。

詳細例子

2點離散空間上的常預層

2點離散拓撲空間

設X是兩點p、q組成的拓撲空間，具有離散拓撲。X有4個開集：$\varnothing ,\{p\},\{q\},\{p,q\}$。圖中顯示了X的開集的5個非平凡包含。 X上的預層為X的每個開集選擇一個集合，並為9個包含（5個非平凡，4個平凡）的每個選擇一個限制映射。值為${\textbf {Z}}$的常預層（將表為F）選擇4個集合均為${\textbf {Z}}$（整數集）、選擇9個限制映射均為恆等映射。F是函子，因此也是預層，因為它是常的；其滿足膠合公理，但不是層，因為在空集上局部恆等公理失效——空集被空集族覆蓋：空集上F的任意兩截面限制到空集族的任何集合都相等。因此，局部恆等公理意味着F在空集上的任意兩截面都相等，但實際上並非如此。

類似地，在空集上滿足局部恆等公理的預層G的構造如下。設$G(\varnothing )=0$，其中0是單元集。在非空集合上，為G賦值${\textbf {Z}}$。對開集的每個包含，若較小的集合是空的，則G返回到0的唯一映射；否則，返回${\textbf {Z}}$上的恆等映射。

常層的中間步驟

注意：由於空集的局部恆等公理，所有涉及空集的限制映射都是無趣的。這適用於任何滿足空集局部恆等公理的預層，尤其適用於任何層。 G是分離預層（即滿足局部恆等公理），但不滿足膠合公理，這與F不同。$\{p,q\}$被兩開集$\{p\},\ \{q\}$覆蓋，交為空。$\{p\}$或$\{q\}$上的截面是${\textbf {Z}}$的元素，即是一個數。選擇$\{p\}$上的截面m、$\{q\}$上的截面n，假定$m\neq n$；由於m、n在$\varnothing$上限制於同一個元素0，膠合公理要求在$G(\{p,q\})$上存在唯一截面s，其在$\{p\}$上限制到m，在$\{q\}$上限制到n。但由於$\{p,q\}$到$\{p\}$的限制映射是恆等映設，所以$s=m,\ s=n$，於是有$m=n$，自相矛盾。

2點拓撲空間上的常層

$G(\{p,q\})$太小了，無法同時攜帶$\{p\}$、$\{q\}$的信息。設$H(\{p,q\})=\mathbf {Z} \otimes \mathbf {Z}$，就可以將其放大以滿足膠合公理。令$\pi _{1}$、$\pi _{2}$為兩射影映射$\mathbf {Z} \otimes \mathbf {Z} \to \mathbf {Z}$；定義$H(\{p\})={\text{im}}(\pi _{1})=\mathbf {Z}$，$H(\{q\})={\text{im}}(\pi _{2})=\mathbf {Z}$。對剩下的開集和包含，令$H=G$。H是X上的常層，值為${\textbf {Z}}$。由於${\textbf {Z}}$是環，且所有限制映射都是環同態，所以H是交換環層。

另見

• 局部常層

參考文獻

• Section II.1 of Hartshorne, Robin, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics 52, New York: Springer-Verlag, 1977, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157 
• Section 2.4.6 of Tennison, B.R., Sheaf theory, 1975, ISBN 978-0-521-20784-3