帕斯卡定理

帕斯卡定理圓錐曲線的內接六邊形其三條對交點共線。它與布列安桑定理對偶,是帕普斯定理的推廣。(當這個圓錐曲線退化成兩條直線時,帕斯卡定理就會變成帕普斯定理)

該定理由法國數學家布萊士·帕斯卡於16歲時提出但並未證明,是射影幾何中的一個重要定理

證明

如圖,如果圓錐曲線是一圓,圓內接六邊形ABCDEF的邊AB、DE的延長線交於點G,邊BC、EF的延長線交於點H,邊CD、FA的延長線交於點K。

 

延長AB、CD、EF,分別交直線CD、EF、AB於M、N、L三點,構成△LMN。

利用梅涅勞斯定理

直線BC截LM、MN、NL於B、C、H三點,則 …①

直線DE截LM、MN、NL於G、D、E三點,則 …②

直線AF截LM、MN、NL於A、K、F三點,則 …③

連BE,則 …④。同理 …⑤, …⑥。

將①②③④⑤⑥相乘,得 

∵點H、G、K在△LMN的邊LN、LM、MN的延長線上,∴H、G、K三點共線。

其餘圓錐曲線

任何非退化圓錐曲線皆可經由投影變換投影成圓,故帕斯卡定理於其他圓錐曲線亦成立。

參見