雙線性映射

在數學中,一個雙線性映射是由兩個向量空間上的元素,生成第三個向量空間上一個元素之函數,並且該函數對每個參數都是線性的。例如矩陣乘法就是一個例子。

定義

 ,   是在同一個基礎 上的三個向量空間。雙線性映射是函數

 

使得對於任何  ,映射

 

是從  線性映射,並且對於任何 中的 ,映射

 

是從  的線性映射。

換句話說,如果保持雙線性映射的第一個參數固定,並留下第二個參數可變,結果就是線性算子,如果保持第二個參數固定也是類似的。

如果 並且有 對於所有 中的 ,則我們稱 對稱的。

當這裏的  的時候,我們稱之為雙線性形式,它特別有用(參見例子純量積內積二次形式)。

如果使用在交換環 上的替代向量空間,定義不需要任何改變。還可容易的推廣到 元函數,這裏正確的術語是「多線性」。

對非交換基礎環 和右模 與左模 的情況,我們可以定義雙線性映射 ,這裏的 是阿貝爾環,使得對於任何 中的 是群同態,而對於任何 中的 是群同態,並還滿足

 

對於所有的 中的    中的 

定義 ,  , 是有限維的,則 也是有限維的。對於 就是雙線性形式,這個空間的維度是 (儘管線性形式的空間 的維度是 )。看得出來,選擇  ;接着每個線性映射可以唯一的表示為矩陣 ,反之亦然。現在,如果 是更高維的空間,我們明顯的有 

例子

  • 矩陣乘法是雙線性映射 
  • 如果在實數 上的向量空間 承載了內積,則內積是雙線性映射 
  • 一般的說,對於在域 上的向量空間 ,在 上的雙線性形式同於雙線性映射 
  • 如果 是有對偶空間 的向量空間,則應用算子 是從 到基礎域的雙線性映射。
  •   是在同一個基礎域 上的向量空間。如果  的成員而  的成員,則 定義雙線性映射 
  •  叉積是雙線性映射 
  •  是雙線性映射,而 線性算子,則 是在 上的雙線性映射。
  • 零映射,定義於 對於所有 中的 ,是從  的同時為雙線性映射和線性映射的唯一映射。實際上,如果 ,則 

參見