餘數

在算術中，當兩個整數相除的結果不能以整數商表示時，餘數便是其「餘留下的量」。當餘數為零時，被稱為整除。

自然數的餘數

如果 $a$ 和 $d$ 是兩個自然數，$d$ 非0，可以證明存在兩個唯一的整數 $q$ 和 $r$ ，滿足 $a=q*d+r$ 且 $0\leq r<d$ 。其中， $q$ 被稱為商數， $r$ 被稱為餘數。帶餘除法是一個關於如何計算餘數的算法，其中提供了對此結果的證明。

例子

• 13除以10，商為1，餘數為3，$13=1*10+3$或$13\div 10=1\dots 3$。
• 26除以4，商為6，餘數為2，$26=6*4+2$或$26\div 4=6\dots 2$。
• 56除以7，商為8，餘數為0，$56=8*7+0$或$56\div 7=8\dots 0$。
• 9除以10，商為0，餘數為9，$9=0*10+9$或$9\div 10=0\dots 9$。

一般整數的餘數

如果 $a$ 與 $d$ 是整數，$d$ 非零，那麼餘數 $r$ 滿足這樣的關係：

$a=qd+r$ , $q$ 為整數，且$0\leq \left\vert r\right\vert <\left\vert d\right\vert$。

當這樣定義時，可能導致兩種可能的餘數。例如，除法式子${\frac {-42}{-5}}$的可以表達為

$-42=9\times (-5)+3$（在數學工作者中使用較多）

或

$-42=8\times (-5)+(-2)$.

即餘數可能是3或−2。

這種對餘數不明確的定義可能導致嚴重的計算問題，對於處理關鍵任務的系統，錯誤的選擇會導致嚴重的後果。在一些組合語言系統中，會有特殊的除法指令，設定餘數和被除數同號。

在上面的例子，負餘數為正餘數減5得來，5即是除數 $d$ 。通常，當除以 $d$ 時，如果正餘數為$r_{1}$，負餘數為$r_{2}$，那麼

$r_{2}=r_{1}+d$。

Python 2.7語言定義的除法中，不能整除的情況下，餘數與除數同號，例如${\frac {-42}{-5}}$表達為

$-42=8\times (-5)+(-2)$

而 ${\frac {42}{-5}}$ 則表達為

$42=(-9)\times (-5)+(-3)$

實數的餘數

當 $a$ 和 $d$ 是實數，且 $d$ 非零，$a$ 除以 $d$ 會得到另一個實數（商），沒有所謂的剩餘的數.但如果要求商為一個整數，則餘數的概念還是有必要的。可以證明：存在唯一的整數商 $q$ 和唯一的實數r 使得：$a=qd+r$, $0\leq r<\left\vert d\right\vert$。在整數除法裏，餘數可以要求為負，即滿足關係：$-\left\vert d\right\vert <r\leq 0$。

如上在實數範圍內擴展餘數的定義在數學理論中並不重要；儘管如此，很多程序語言都實現了這個定義—參同餘。

參見

• 整除
• 中國剩餘定理
• 同餘
• 輾轉相除法