白努利數

n B±
n
0 1
1 ±1/2
2 1/6
3 0
4 1/30
5 0
6 1/42
7 0
8 1/30
9 0
10 5/66
11 0
12 691/2730
13 0
14 7/6
15 0
16 3617/510
17 0
18 43867/798
19 0
20 174611/330

數學上,白努利數 Bn 是一個與數論有密切關聯的有理數序列。前幾項被發現的白努利數分別為:

B0 = 1, B±
1
= ± 1/2
, B2 = 1/6, B3 = 0, B4 = − 1/30, B5 = 0, B6 = 1/42, B7 = 0, B8 = − 1/30.

上標 ± 在本文中用來區別兩種不同的白努利數定義,而這兩種定義只有在n = 1 時有所不同:

由於對於所有大於1的奇數 n白努利數 Bn = 0 ,且許多公式中僅使用偶數項的白努利數,一些作者可能會用"Bn"來代表 B2n,不過在本文中不會使用如此的簡寫。

等冪求和

白努利數Bn是等冪求和的解析解中最為明顯的特徵,定義等冪和如下,其中m, n ≥ 0

 

這數列和的公式必定是變數為n,次數為m +1次的多項式,稱為白努利多項式。白努利多項式的系數與白努利數有密切關係如下:

 

其中(m + 1
k
)
二項式系數

舉例說,把m取為1,我們有 

白努利數最先由雅各布·白努利研究,狄默夫以他來命名。

白努利數可以由下列遞歸公式計算:

 

初值條件為B0 = 1,B1 = 1/2。 或者: 

初值條件為B0 = 1,B1 = -1/2。

白努利數也可以用母函數技巧定義。它們的指數母函數是x/(ex − 1),使得對所有絕對值小於2π的x冪級數收斂半徑),有

 

有時會寫成小寫bn,以便與貝爾數分別開。

最初21項白努利數記於OEIS中的數列A027641A027642

可以證明對所有不是1的奇數nBn = 0。

數列中乍看起來突兀的B12 = −691/2730,喻示白努利數不能以初等方式描述;其實它們是黎曼ζ函數於負整數的值,有深邃的數論性質聯繫,所以不能預期有簡單的計算公式。

白努利數出現在正切和雙曲正切函數的泰勒級數展開式、歐拉-麥克勞林公式,及黎曼ζ函數的一些值的表達式。

在1842年的愛達·勒芙蕾絲分析機筆記的筆記G,第一次記述了一個讓電腦產生白努利數的算法

一些等式

歐拉以黎曼ζ函數表達白努利數為:

 

在[−1, 0]區間上的連續均勻機率分佈n累積量Bn/n

白努利數的算術性質

白努利數可以用黎曼ζ函數表達為Bn = − nζ(1 − n),也就說明它們本質上是這函數在負整數的值。因此,可推測它們有深刻的算術性質,事實也的確如此,這是庫默爾(Kummer)研究費馬大定理時發現的。

白努利數的可整除性是與分圓體理想類群有關。這關係由庫默爾的一道定理和更強的埃爾貝朗-里貝定理(Herbrand-Ribet)描述。而這性質與實二次體的關係由安克尼-阿廷-喬拉猜想(Ankeny-Artin-Chowla)給出。白努利數還和代數K理論有關:若cnBn/2n的分子,那樣 的階是−c2nn為偶數;2c2nn為奇數。

與整除性也有關連的是馮·施陶特-克勞森定理(von Staudt-Clausen)。這定理是說,凡是適合p − 1整除n的質數p,把1/p加到Bn上,我們會得到一個整數。這個事實給出了非零白努利數Bn的分母的特徵:這些分母是適合p − 1整除n的所有質數p的乘積;故此它們都無平方因子,也都可以被6整除。

吾鄉-朱加猜想猜測p是質數當且僅當pBp−1p同餘於−1。

p進連續性

白努利數的一個特別重要的同餘性質,可以表述為p進連續性。若bmn是正整數,使得mn不能被p − 1整除,及 ,那麼

 

因為 ,這也可以寫成

 

其中u = 1 − mv = 1 − n,使得uv非正,及不是模p − 1同餘於1。這告訴我們,黎曼ζ函數的歐拉乘積公式中去掉 後,對適合模p − 1同餘於某個 的負奇數上的p進數連續,因此可以延伸到所有p進整數 ,得出p進ζ函數

白努利數的幾何性質

 時給出可平行流形邊界的怪(4n−1)球,對於它們的微分同胚類的循環群的階,有凱爾韋爾-米爾諾公式(Kervaire-Milnor),用到了白努利數。若BB4n/n的分子,那麼這種怪球的數目是 。(拓撲學文章中的公式與這裏不同,因為拓撲學家為白努利數編號的習慣不同。本文跟隨數論家的編號習慣。)

參見

外部連結

  1. ^ A164555.