代數數論中,二次體是在有理數上次數為二的數體。二次體可以唯一地表成,其中無平方數因數。若,稱之為實二次體;否則稱為虛二次體複二次體。虛實之分在於是否為全實體

二次體的 研究肇源甚早,起初是作為二次型理論的一支。二次體是代數數論的基本對象之一,雖然如此,至今仍有一些未解猜想,如類數問題

整數環與判別式

二次體 裏的整數環 定義為該體中的代數整數。當 時,整數環可描述為 ,否則為 。當 時,這些整數稱為高斯整數,當 時,稱為艾森斯坦整數

根據上述描述, 判別式不難計算:當 時判別式為 ,否則則為 

二次體上的分歧理論

  質數。數論關注的問題是 如何在 中分解成質理想之積。根據數體的分歧理論,應考慮以下情形:

  •  是慣性的: 仍為質理想,此時 
  •  分裂: 為兩個相異質理想之積,此時 
  •  分歧: 為某個質理想之平方,此時 含有非零的冪零元素。

根據之前對判別式的計算,可知 分歧當且僅當 整除 的判別式(  ,取決於 );對其餘無窮多個質數,前兩個情形皆會發生,而且其概率在某種意義上相等。

素p分圓體和二次體

分圓體素p(p>2)次根群所產生二次子體,也是伽羅瓦理論(埃瓦里斯特·伽羅瓦)的一個結論,在有理體上有惟一指數2Galois子群,,二次體特例d=-1時成稱高斯整環,有判別式p的p=4N+1-P,P = 4N +3才有素分解高斯整環分歧條件叫高斯週期(Gaussian period)。

其他的分圓體

如果一個分圓體,他們有額外的2-扭伽羅瓦群,那麽就至少包含三個二次體。一般通過分圓體二次子體判別式D的可以得到D次單位根組成的子體(D-th roots of unity)。這表示一個事實,即二次體的前導子(conductor) 是判別式D的絕對賦值 (value) 。

參考文獻