逆矩陣(inverse matrix),又稱乘法反方陣反矩陣。在線性代數中,給定一個n方陣,若存在一n 階方陣,使得,其中n單位矩陣,則稱可逆的,且逆矩陣,記作

線性代數
向量 · 向量空間 · 基底  · 行列式  · 矩陣

只有方陣(n×n 的矩陣)才可能有逆矩陣。若方陣的逆矩陣存在,則稱非奇異方陣或可逆方陣。

行列式類似,逆矩陣一般用於求解聯立方程組。

求法

伴隨矩陣法

如果矩陣 可逆,則 其中  伴隨矩陣  行列式

注意: 中元素的排列特點是 的第 元素是 的第 元素的代數餘子式。要求得 即為求解 餘因子矩陣轉置矩陣

初等轉換法

如果矩陣  互逆,則 。由條件 以及矩陣乘法的定義可知,矩陣  都是方陣。再由條件 以及定理「兩個矩陣的乘積的行列式等於這兩個矩陣的行列式的乘積」可知,這兩個矩陣的行列式都不為 。也就是說,這兩個矩陣的秩等於它們的級數(或稱為階,也就是說,A與B都是 方陣,且 換而言之,   均為滿矩陣)。換句話說,這兩個矩陣可以只經由初等行轉換,或者只經由初等列轉換,變為單位矩陣。

因為對矩陣 施以初等行轉換(初等列轉換)就相當於在 的左邊(右邊)乘以相應的初等矩陣,所以我們可以同時對  施以相同的初等行轉換(初等列轉換)。這樣,當矩陣 被變為 時, 就被變為 的逆陣 

性質

  1.  
  2.  
  3.  
  4.   為A的轉置
  5.  (det為行列式

廣義逆陣

廣義逆陣(Generalized inverse)又稱偽逆,是對逆陣的推廣。一般所說的偽逆是指摩爾-彭若斯廣義逆,它是由E·H·摩爾羅傑·潘洛斯分別獨立提出的。偽逆在求解線性最小平方問題中有重要應用。

參見