輻射轉移

輻射轉移（英語：radiative transfer）是以電磁輻射形式進行能量轉移的物理現象。經由介質傳播的輻射會受到吸收、發射和散射的影響。輻射轉移方程式就是以數學方式描述這些交互作用。描述輻射轉移現象的方程式稱為輻射轉移方程式（radiative transfer equation，RTE），它被廣泛應用在光學、天文物理學、大氣科學和遙測上。輻射轉移方程式在簡單狀況下存在解析解，但在實際狀況下常包含複雜的多重散射效應，此時必須使用數值方式求解。

輻射場

輻射轉移現象所描述的對象為輻射場（radiation field），而輻射場通常表達成譜輻射率（spectral radiance）關於位置 $\mathbf {r}$、方向 ${\hat {\mathbf {n} }}$ 和時間 $t$ 的的函數，寫成 $I_{\nu }(\mathbf {r} ,{\hat {\mathbf {n} }},t)$。

譜輻射率 $I_{\nu }$ 的定義如下。考慮一個位於 $\mathbf {r}$ 的單位面積 $\operatorname {d} \!a$，如果在單位時間 $\operatorname {d} \!t$ 內，有輻射能量 $\operatorname {d} \!E_{\nu }$ 從單位立體角 $\operatorname {d} \!\Omega$ 流經單位面積 $\operatorname {d} \!a$，且頻率介於 $\nu$ 和 $\nu +{\operatorname {d} \!\nu }$ 這個區間之內（輻射的極化在這裏被忽略），則

$\operatorname {d} \!E_{\nu }=I_{\nu }(\mathbf {r} ,{\hat {\mathbf {n} }},t)\cos {\theta }\,{\operatorname {d} \!a}\,{\operatorname {d} \!\Omega }\,{\operatorname {d} \!t}\,{\operatorname {d} \!\nu }$，

其中 $\theta$ 是輻射的單位向量 ${\hat {\mathbf {n} }}$ 和單位面積法向的夾角。譜輻射率的單位是以能量/(時間⋅面積⋅立體角⋅頻率)表示，在MKS單位制中，就是W·m^-2·sr^-1·Hz^-1。

當一個區域內所有的點在所有方向上某一時刻的 $I_{\nu }(\mathbf {r} ,{\hat {\mathbf {n} }},t)$ 都被指定，就構成一個輻射場。另外，譜輻射率為輻射度量學名詞，在傳統天文學領域常常稱為比強度（specific intensity）。

輻射轉移方程式

輻射轉移方程式是譜輻射率的微分方程式。先考慮一維的情形，令 $s$ 是沿着輻射路徑傳播的距離；假如輻射通過真空，則它的譜輻射率不隨着輻射遞移而改變，於是有

${\operatorname {d} \!{I_{\nu }} \over \operatorname {d} \!s}=0$。

現在考慮輻射通介質，則有三種交互作用會導致輻射轉移：

• 因為吸收（absorption）而失去能量
• 因為發射（emission）而獲得能量
• 因為散射（scattering）而重新分配能量

所以輻射轉移方程式可寫為

${\operatorname {d} \!{I_{\nu }} \over \operatorname {d} \!s}=j_{\nu }-\alpha _{\nu }I_{\nu }$。

此處 $j_{\nu }$ 是物質的譜發射系數，$\alpha _{\nu }$ 是物質的譜衰減系數，而且可寫成 $\alpha _{\nu }=\alpha _{\nu ,{\rm {a}}}+\alpha _{\nu ,{\rm {s}}}$，下標裏的 a 與 s 分別表示與吸收和散射的成分。在天文物理學中，常引入光深度 $\tau$ 的概念；對上式使用 $\operatorname {d} \!\tau =\alpha \operatorname {d} \!s$ 進行變量變換，可得到

${\operatorname {d} \!{I_{\nu }} \over \operatorname {d} \!\tau _{\nu }}=S_{\nu }-I_{\nu }$，

其中 $S_{\nu }\equiv j_{\nu }/\alpha _{\nu }$ 是源函數。當所有頻率 $\nu$ 的源函數都等於譜輻射率的時候，可得到 ${\operatorname {d} \!I}/{\operatorname {d} \!s}=0$，彷彿輻射是通過真空一樣，這就是輻射平衡（radiative equilibrium）條件。

如果考慮三維情形，輻射轉移方程式可寫為

$\left[{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}+\left({\hat {\mathbf {n} }}\cdot \nabla \right)\right]I_{\nu }=j_{\nu }-(\alpha _{\nu ,{\rm {a}}}+\alpha _{\nu ,{\rm {s}}})I_{\nu }+{\frac {\alpha _{\nu ,{\rm {s}}}}{4\pi }}\int _{\Omega }I_{\nu }{\operatorname {d} \!\Omega }$，

其中 $c$是光速。等式左邊的微分算子用法向導數取代了對 $s$ 的導數，還納入了 $I_{\nu }$ 的時間導數；等式右邊第三項考量的是從四面八方散射而來的輻射，故取 $I_{\nu }$ 的角度平均。

輻射轉移方程式的解

求解輻射轉移方程式是非常耗力的工作。不過可以依據各種形式的吸收和發射系數，進行適當簡化。譬如說，如果將吸收和散射忽略，只考慮物質的發射，則一維輻射轉移方程式的通解可以寫成：

$I_{\nu }(s)=I_{\nu }(s_{0})\,e^{-\tau (s_{0},s)}+\int _{s_{0}}^{s}j_{\nu }(s')\,e^{-\tau (s',s)}{\operatorname {d} \!s'}$，

這裏的 $\tau (s_{1},s_{2})$ 是兩個位置 $s_{1}$ 和 $s_{2}$ 中間介質的光深度：

$\tau (s_{1},s_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{s_{1}}^{s_{2}}\alpha _{\nu }(s)\,ds$。

局部熱力平衡

一個特別有用的輻射轉移方程式簡化是局部熱力平衡（local thermodynamic equilibrium，LTE）狀態。這個狀態中，介質包含許多「局部」達到熱平衡的粒子，因此有一個可定義的溫度。但輻射場並非處在平衡狀態，並且是由大量存在的粒子驅動。在局部熱力平衡的介質中，發射系數和吸收系數只是溫度和密度函數，而且兩者的關係式為

${\frac {j_{\nu }}{\alpha _{\nu }}}=B_{\nu }(T)$，

其中 $B_{\nu }(T)$ 是溫度 $T$ 時的黑體輻射的譜輻射率（即普朗克黑體輻射定律）。此時，輻射轉移方程式的解為

$I_{\nu }(s)=I_{\nu }(s_{0})e^{-\tau (s_{0},s)}+\int _{s_{0}}^{s}B_{\nu }(T(s'))\alpha _{\nu }(s')e^{-\tau (s',s)}\,{\operatorname {d} \!s'}$。

了解介質的溫度和密度剖面曲線之後，就足以計算輻射轉移方程式的解。

愛丁頓近似

愛丁頓近似（Eddington approximation）是輻射轉移方程式的一種近似解，適用於氣象學中的平面平行大氣（plane-parallel atmosphere）模型及天文學中的灰色大氣模型。在這些模型裏，大氣的各種熱力性質呈現層狀（slab-like）分佈，換句話說，它們只會在垂直於層狀大氣的方向上（定義為 $z$ 軸）發生變化，而不會在平行方向上出現變化。輻射路徑 $s$ 上的變化量與 $z$ 軸上的變化量的關係為

${\operatorname {d} \!s}={\frac {\operatorname {d} \!z}{\cos {\theta }}}={\frac {\operatorname {d} \!z}{\mu }}$ 。

我們稍後會解說定義 $\mu =\cos \theta$ 的作用。由於考慮的是平面平行大氣，所以我們預期譜輻射率也只是 $z$ 和 $\mu$ 的線性函數。使用變量變換 ${\operatorname {d} \!s}={\operatorname {d} \!z}/\mu$ ，代入一維輻射轉移方程式，則有

$\mu {\frac {\partial {I_{\nu }}}{\partial z}}=j_{\nu }-\alpha _{\nu }I_{\nu }$

另一方面，我們定義譜輻射率 $I_{\nu }$ 關於 $\mu$ 的第 $j$ 階動差：

$M_{j}\equiv {\frac {1}{2}}\int _{-1}^{+1}\mu ^{j}I(\mu ){\operatorname {d} \!\mu }$，

之所以引入動差的概念，是因為在平面平行大氣中，有許多輻射相關的物理量是 $\mu =\cos \theta$ 的函數，只要使用變量變換 ${\operatorname {d} \!\mu }=-\sin {\theta }\;{\operatorname {d} \!\theta }$ ，就可以在角度積分中簡化算式。具體來說，假設 $A(\cos {\theta })$ 是任意 $\mu =\cos \theta$ 的函數，則 $A(\cos {\theta })$ 對於所有方向的立體角積分為

$\int A(\cos {\theta }){\operatorname {d} \!\Omega }=\int _{\phi =0}^{2\pi }\int _{\pi =0}^{\pi }{A(\cos {\theta })\sin {\theta }\,{\operatorname {d} \!\theta }\,{\operatorname {d} \!\phi }}=2\pi \int _{-1}^{+1}{A(\mu )\,{\operatorname {d} \!\mu }}$。

$I$ 關於 $\mu$ 的前幾階動差是

$J={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}{I(\mu ){\operatorname {d} \!\mu }}$，

$H={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}{\mu I(\mu ){\operatorname {d} \!\mu }}$，

$K={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}{\mu ^{2}I_{\nu }(\mu ){\operatorname {d} \!\mu }}$。

此處 $J$ 是輻射強度的角度平均（angle-averaged intensity），它恰好與能量密度 $U$ 成正比；$H$ 是愛丁頓通量（Eddington flux），與輻射通量 $F$ 成正比；$K$ 也與輻射壓 $P$ 成正比。

所謂的愛丁頓近似就是將平面平行大氣中的輻射場視為「近似於各向同性」、但是有關於 $\mu =\cos {\theta }$ 的一階異向性，簡單來說，就是假定 $I$ 關於 $\mu$ 的泰勒級數只保留到一次項，於是 $I$ 成為 $\mu$ 線性函數：

$I(z,\mu )=a(z)+b(z)\mu$。

將這個函數代入上述動差的公式，可以得到

$J=a(z),\quad \,H={\frac {b(z)}{3}},\quad K={\frac {a(z)}{3}}$。

於是得到愛丁頓近似的重要結果：

$K={\frac {J}{3}}$。

這等價於各項同性輻射場的重要條件 $P=U/3$，不過差別在於愛丁頓近似適用於稍微具有異向性的輻射場。愛丁頓近似是由天文學家亞瑟·愛丁頓在研究恆星大氣時所提出。

愛丁頓近似與雙流近似不同。雙流近似是假設空間分為兩塊區域，輻射在其中一邊固定以某方向傳播，在另一邊固定以另一方向傳播。

參見

• 吸收 (光學)
• 原子譜線
• 比爾－朗伯定律
• 發射光譜
• 大氣輻射轉移模型
• 譜輻射率（輻射比強度）
• 輻射率
• 希沃特積分

延伸閱讀

• Chandrasekhar, Subrahmanyan. Radiative Transfer. New York: Dover. 1960. ISBN 978-0-486-60590-6. 
• Lenoble, Jacqueline. Radiative Transfer in Scattering and Absorbing Atmospheres: Standard Computational Procedures. A. Deepak. 1986. ISBN 978-0937194058. 
• Grant William, Petty. A First Course in Atmospheric Radiation 2nd edition, illustrated. Madison: Sundog. 2006 [2004]. ISBN 9780972903318. 
• Mihalas, Dimitri; Weibel-Mihalas, Barbara. Foundations of Radiation Hydrodynamics. Oxford University Press. 1984. ISBN 0-486-40925-2. 
• Thomas, Gary. E.; Stamnes, Knut. Radiative Transfer in the Atmosphere and Ocean. Cambridge: Cambridge University Press. 1999 [2024-01-09]. ISBN 0-521-40124-0. （原始內容存檔於2024-01-09） （英語）. 
• McLinden, Chris. Radiative Transfer. 1999-07-22. （原始內容存檔於2022-01-13） （英語）.