測度收斂

測度收斂測度論中的一個概念: 假設可測空間上有一個有趣卻很難直接構造的測度μ,我們希望能找到一列相對容易構造或分析的測度 ,隨着 的增大, 的性質與 越來越相似。 '越來越相似' 和一般的 序列的極限的想法一致:對於任何可接受的誤差 ,只要 充分大, 對於任何 之間的'差別'小於 。 收斂的定義也就取決於'差別'的定義。 這些定義可能互相不等價,強弱有別。

下面介紹3種最常見的測度收斂的定義。

測度的總變差收斂

測度的強收斂

測度的弱收斂

數學統計學中, 弱收斂 (即為泛函分析中的 弱*收斂)是 測度論中廣泛應用的一種收斂。 下面是幾種測度弱收斂的等價定義。 這些等價定義被稱為 portmanteau定理.[1]

定義   為擁有 Borel σ-代數  度量空間 。我們稱一列(S, Σ)上的 概率測度   ,   弱收斂於概率測度   ,(記為

 

如果下面任何一條條件得到滿足 (   為關於概率   的數學期望,  為關於概率   的數學期望):

  •   對於任何有界連續的函數  ,
  •   對於任何有界且滿足 Lipschitz條件的函數   ,
  •   對於任何有上界的 上半連續 的函數   ,
  •   對於任何有下界的 下半連續 的函數   ,
  •   對於任何空間S中的閉集   ;
  •   對於任何空間S中的開集   ;
  •   對於任何關於概率P連續的集合  .

參考來源

  1. ^ Achim Klenke, Probability theory (2006) Springer-Verlag, ISBN 978-1-848000-047-6 doi:10.1007/978-1-848000-048-3

參考文獻