勞侖茲-黑維塞單位制

勞侖茲-黑維塞單位制（或稱黑維塞-勞侖茲單位制）是一種衍生自厘米-克-秒制的單位系統，主要用於電磁學領域。其得名於荷蘭物理學家亨德里克·勞侖茲與英國數學家奧利弗·黑維塞。與同是衍生自厘米-克-秒制的高斯單位制類似，在使用這種單位制時，電常數 $ε 0$ 及磁常數 $µ 0$ 並不在方程式中出現，而是整合於相關的單位中。相對於國際單位制，勞侖茲-黑維塞單位制可以視作調整麥克斯韋方程組，歸一 $ε 0$ 與 $µ 0$ ，轉而在麥克斯韋方程組中使用光速 $c$ 的結果。^[1]^[2]

與國際單位制類似，勞侖茲-黑維塞單位制是有理化的，即在方程式中不會出現系數 $4 π$ 。這一點與同是衍生自CGS制的高斯單位制不同。^[1]^[3]正是由於這一單位制是有理化的，其會特別符合量子場論的需求：在該理論所涉及的拉格朗日量中不會出現系數 $4 π$ 。^[1]同時，電荷、電磁場依據勞侖茲-黑維塞單位制所得到的定義也會由於系數 $\sqrt 4 π$ 而發生改變。勞侖茲-黑維塞單位制在弦論這樣計算所涉及的空間維度大於三的情形中特別適用，並且還常用於狹義相對論計算。

因次

與高斯單位制類似，勞侖茲-黑維塞單位制採用「長度-質量-時間」因次系統，即其中所有的電磁單位都是導出單位，大小取決於長度、質量以及時間所採用的單位大小。電荷的單位是通過庫倫定律推導的：當採用高斯單位制時，其形式為 $F = QQ / r 2$ ；而當採用勞侖茲-黑維塞單位制時，其單位則變為 $F = qq /4 πr 2$ 。與之對應的單位轉換關係為： $1 dyn cm 2 = 1 esu 2 =4 π hlu$ 。因此，勞侖茲-黑維塞單位制下的單位電荷會比高斯單位制中的大 $\sqrt 4 π$ 倍。

當採用類似於高斯單位制的因次分析時，即將ε與μ納入單位考量，我們就可以得到國際單位制與勞侖茲-黑維塞單位制之間的換算關係。例如，勞侖茲-黑維塞單位制中電荷的因次為 $\sqrt ε L 3 MT -2$ 。當 $ε = 7000885399999999999♠ 8.854 pF/m$ ， $L = 6998100000000000000♠ 0.01 米$ ， $M = 6997100000000000000♠ 0.001 kg$ 以及 $T = 7000100000000000000♠ 1 s$ 時，勞侖茲-黑維塞單位制中單位電荷就為6989940966899999999♠9.409669×10⁻¹¹ C。

由於勞侖茲-黑維塞單位制中電學單位與磁學單位是分離的，則當電學量與磁學量出現於同一方程式，就需引入一個常數來構建兩者之間聯繫。與高斯單位制類似，在勞侖茲-黑維塞單位制中，這個常數就是電磁場的傳播速度 $c$ 。

有理化

對於任意的單位制，麥克斯韋方程組可以取以下這種形式：

{\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {D} &=\rho /\beta ,\\\quad \nabla \cdot \mathbf {B} &=0,\\\quad \kappa \nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}},\\\quad \kappa \nabla \times \mathbf {H} &={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {J} /\beta ,\end{aligned}}

其中 $D = ε 0 E$ ， $B = μ 0 H$ 。常數 $β$ 與 $κ$ 在不同的單位下形式有所不同。首先設在任意單位下存在 $ε 0 μ 0 c 2 = κ 2$ ，則對於上文述及的三種單位制存在：

高斯單位制： $β = 1/4 π$ ， $κ = c$ ；
勞侖茲-黑維塞單位制： $β = 1$ ， $κ = c$ ；
國際單位制： $β = 1$ ， $κ = 1$ 。

有理化過程所實現是將輻射系數 $γ$ （與場源具有一定距離某點的場強）取代為高斯散度系數 $β$ （場源外某封閉曲面的通量）。二者之間的關係 $γ = 4 πβ$ 可以從一個簡單情形類推得到：場源為一點，外面的曲面為一個球面，強度則是通量密度。舊有的模型中， $γ$ 被設為1。而在有理化模型中，則轉為設 $β$ 為1。物理學中的有理化方程式通常都具有相應的表徵對稱性的因子：例如平面對稱的 $1$ ，柱對稱的 $2 π$ 以及球對稱的 $4 π$ 。

常數 $κ$ 則通過 $Q = Iκt$ 聯繫電學單位與磁學單位。當採用高斯單位制或勞侖茲-黑維塞單位制時，由電磁波方程式， $κ$ 被設為 $c$ 。但在國際單位制中， $κ = 1$ ，則上式化為 $Q = It$ 。因而在許多教科書中，電荷與電流間的關係為 $Q = It$ 而不是 $Q = Iκt$ 。

有源麥克斯韋方程組

當採用勞侖茲-黑維塞單位制時，自由空間中有源麥克斯韋方程組的形式為：

\nabla \cdot \mathbf {E} =\rho \,

\nabla \cdot \mathbf {B} =0\,

\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,

\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {1}{c}}\mathbf {J} \,

其中 $c$ 為真空中光速， $E = D$ 為電場強度， $H = B$ 為磁場強度， $ρ$ 為電荷密度而 $J$ 則為電流密度。

勞侖茲力方程式為：

\mathbf {F} _{q}=q\left(\mathbf {E} +{\frac {\mathbf {v} _{q}}{c}}\times \mathbf {B} \right)\,

其中：試探粒子的電荷量為 $q$ ，速度為 $v q$ ； $F q$ 則為施加在試探粒子上的電場力與磁場力之和。

在高斯單位制與勞侖茲-黑維塞單位中，電學單位與磁學單位都是從力學單位中衍生出來的。電荷就是設 $ε = 1$ 時由庫侖定律引入的。在高斯單位制下， $F = QQ / R 2$ ；而在勞侖茲-黑維塞單位下， $F = qq /4 πR 2$ 。由此可以得到 $QQ = qq /4 π$ 。類似地可以得到兩種單位制下其他量間大小轉換關係：

q_{\mathrm {LH} }\ =\ {\sqrt {4\pi }}\ q_{\mathrm {G} }

\mathbf {E} _{\mathrm {LH} }\ =\ {\mathbf {E} _{\mathrm {G} } \over {\sqrt {4\pi }}}

\mathbf {B} _{\mathrm {LH} }\ =\ {\mathbf {B} _{\mathrm {G} } \over {\sqrt {4\pi }}}

.

幾種單位制下電磁學方程式的形式比較

麥克斯韋方程組

在這裏，我們將列舉微觀與宏觀微分形式的麥克斯韋方程組在三種單位制下的不同形式。積分形式的麥克斯韋方程組可以通過斯托克斯定理由微分形式得到。

方程式名稱	勞侖茲-黑維塞單位制	高斯單位制	國際單位制
高斯定理（宏觀）	$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{\text{f}}$	$\nabla \cdot \mathbf {D} =4\pi \rho _{\text{f}}$	$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{\text{f}}$
高斯定理（微觀）	$\nabla \cdot \mathbf {E} =\rho$	$\nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho$	$\nabla \cdot \mathbf {E} =\rho /\epsilon _{0}$
高斯磁定律	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$
法拉第感應定律	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$
麥克斯韋-安培定律（宏觀）	$\nabla \times \mathbf {H} ={\frac {1}{c}}\mathbf {J} _{\text{f}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$	$\nabla \times \mathbf {H} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {J} _{\text{f}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$	$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{\text{f}}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$
麥克斯韋-安培定律（微觀）	$\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c}}\mathbf {J} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$	$\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {J} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$	$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

其他基本定律

方程式名稱	勞侖茲-黑維塞單位制	高斯單位制	國際單位制
勞侖茲力	$\mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} +{\frac {1}{c}}\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)$	$\mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} +{\frac {1}{c}}\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)$	$\mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)$
庫侖定律	$\mathbf {F} ={\frac {1}{4\pi }}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}$	$\mathbf {F} ={\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}$	$\mathbf {F} ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}$
靜止點電荷的電場強度	$\mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi }}{\frac {q}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}$	$\mathbf {E} ={\frac {q}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}$	$\mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}$
必歐-沙伐定律	$\mathbf {B} ={\frac {1}{4\pi }}{\frac {1}{c}}\oint {\frac {Id\mathbf {l} \times \mathbf {\hat {r}} }{r^{2}}}$	$\mathbf {B} ={\frac {1}{c}}\oint {\frac {Id\mathbf {l} \times \mathbf {\hat {r}} }{r^{2}}}$	$\mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint {\frac {Id\mathbf {l} \times \mathbf {\hat {r}} }{r^{2}}}$

電介質與磁介質

下面所列的為電介質中幾種電場性質。為簡單起見，這裏僅列舉均一、線性、各向同性且無色散介質中的情況，即令電容率為一個常數。

勞侖茲-黑維塞單位制	高斯單位制	國際單位制
$\mathbf {D} =\mathbf {E} +\mathbf {P}$	$\mathbf {D} =\mathbf {E} +4\pi \mathbf {P}$	$\mathbf {D} =\epsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P}$
$\mathbf {P} =\chi _{\text{e}}\mathbf {E}$	$\mathbf {P} =\chi _{\text{e}}\mathbf {E}$	$\mathbf {P} =\chi _{\text{e}}\epsilon _{0}\mathbf {E}$
$\mathbf {D} =\epsilon \mathbf {E}$	$\mathbf {D} =\epsilon \mathbf {E}$	$\mathbf {D} =\epsilon \mathbf {E}$
$\epsilon =1+\chi _{\text{e}}$	$\epsilon =1+4\pi \chi _{\text{e}}$	$\epsilon /\epsilon _{0}=1+\chi _{\text{e}}$

其中

E與D分別為電場強度與電位移；
P為電極化強度；
$\epsilon$ 為電容率；
$\epsilon _{0}$ 為真空電容率^[a]；
$\chi _{\text{e}}$ 為電極化率。

高斯單位制與勞侖茲-黑維塞單位制中的 $\epsilon$ 和國際單位制中的 $\epsilon /\epsilon _{0}$ 都是無因次量，具有相同的數值。然而，電極化率 $\chi _{e}$ 雖然在所有單位制中都無單位，但對於相同材料而言，卻未必具有相同的數值：

\chi _{\text{e}}^{\text{SI}}=\chi _{\text{e}}^{\text{LH}}=4\pi \chi _{\text{e}}^{\text{G}}

下面所列的為磁介質中幾種磁場性質。為簡單起見，這裏僅列舉均一、線性、各向同性且無色散介質中的情況，即令磁導率為一個常數。

勞侖茲-黑維塞單位制	高斯單位制	國際單位制
$\mathbf {B} =\mathbf {H} +\mathbf {M}$	$\mathbf {B} =\mathbf {H} +4\pi \mathbf {M}$	$\mathbf {B} =\mu _{0}(\mathbf {H} +\mathbf {M} )$
$\mathbf {M} =\chi _{\text{m}}\mathbf {H}$	$\mathbf {M} =\chi _{\text{m}}\mathbf {H}$	$\mathbf {M} =\chi _{\text{m}}\mathbf {H}$
$\mathbf {B} =\mu \mathbf {H}$	$\mathbf {B} =\mu \mathbf {H}$	$\mathbf {B} =\mu \mathbf {H}$
$\mu =1+\chi _{\text{m}}$	$\mu =1+4\pi \chi _{\text{m}}$	$\mu /\mu _{0}=1+\chi _{\text{m}}$

其中

B與H分別為磁感應強度與磁場強度；
M為磁化強度；
$\mu$ 為磁導率；
$\mu _{0}$ 為真空磁導率；^[b]
$\chi _{\text{m}}$ 為磁化率。

高斯單位制與勞侖茲-黑維塞單位制中的 $\mu$ 和國際單位制中的 $\mu /\mu _{0}$ 都是無因次量，具有相同的數值。然而，磁化率 $\chi _{\text{m}}$ 雖然在所有單位制中都無單位，但對於相同材料而言，卻未必具有相同的數值：

\chi _{\text{m}}^{\text{SI}}=\chi _{\text{m}}^{\text{LH}}=4\pi \chi _{\text{m}}^{\text{G}}

向量勢與純量勢

電場與磁場的性質可以通過向量勢A與純量勢φ表述：

方程式名稱	勞侖茲-黑維塞單位制	高斯單位制	國際單位制
電場強度（靜電場）	$\mathbf {E} =-\nabla \phi$	$\mathbf {E} =-\nabla \phi$	$\mathbf {E} =-\nabla \phi$
電場強度（通常形式）	$\mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$	$\mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$	$\mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$
磁感應強度	$\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$	$\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$	$\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$

形式轉換規律

通常來說，將下表所涉及的量依據對應單位制進行替換，即可完成不同單位制下方程式形式的轉換。

物理量	勞侖茲-黑維塞單位制	高斯單位制	國際單位制
光速	$c$	$c$	${\frac {1}{\sqrt {\epsilon _{0}\mu _{0}}}}$
電場強度，電勢	$\left(\mathbf {E} ,\varphi \right)$	${\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\left(\mathbf {E} ,\varphi \right)$	${\sqrt {\epsilon _{0}}}\left(\mathbf {E} ,\varphi \right)$
電位移向量	$\mathbf {D}$	${\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\mathbf {D}$	${\frac {1}{\sqrt {\epsilon _{0}}}}\mathbf {D}$
電荷，電荷密度，電流，電流密度，電極化強度，電偶極矩	$\left(q,\rho ,I,\mathbf {J} ,\mathbf {P} ,\mathbf {p} \right)$	${\sqrt {4\pi }}\left(q,\rho ,I,\mathbf {J} ,\mathbf {P} ,\mathbf {p} \right)$	${\frac {1}{\sqrt {\epsilon _{0}}}}\left(q,\rho ,I,\mathbf {J} ,\mathbf {P} ,\mathbf {p} \right)$
磁感應強度，磁通量，磁向量勢	$\left(\mathbf {B} ,\Phi _{\text{m}},\mathbf {A} \right)$	${\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\left(\mathbf {B} ,\Phi _{\text{m}},\mathbf {A} \right)$	${\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}}}}\left(\mathbf {B} ,\Phi _{\text{m}},\mathbf {A} \right)$
磁場強度	$\mathbf {H}$	${\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\mathbf {H}$	${\sqrt {\mu _{0}}}\mathbf {H}$
磁矩，磁化率	$\left(\mathbf {m} ,\mathbf {M} \right)$	${\sqrt {4\pi }}\left(\mathbf {m} ,\mathbf {M} \right)$	${\sqrt {\mu _{0}}}\left(\mathbf {m} ,\mathbf {M} \right)$
相對電容率，相對磁導率	$\left(\epsilon ,\mu \right)$	$\left(\epsilon ,\mu \right)$	$\left({\frac {\epsilon }{\epsilon _{0}}},{\frac {\mu }{\mu _{0}}}\right)$
電極化率，磁導率	$\left(\chi _{\text{e}},\chi _{\text{m}}\right)$	$4\pi \left(\chi _{\text{e}},\chi _{\text{m}}\right)$	$\left(\chi _{\text{e}},\chi _{\text{m}}\right)$
電導率，電導，電容	$\left(\sigma ,S,C\right)$	$4\pi \left(\sigma ,S,C\right)$	${\frac {1}{\epsilon _{0}}}\left(\sigma ,S,C\right)$
電阻率，電阻，電感	$\left(\rho ,R,L\right)$	${\frac {1}{4\pi }}\left(\rho ,R,L\right)$	$\epsilon _{0}\left(\rho ,R,L\right)$

自然單位制

當採用國際單位制時，設定 $ε = μ = c = 1$ 即可得到自然單位制所對應的形式的方程式，其與採用勞侖茲-黑維塞單位制時的方程式形式類似。形式轉換並不涉及系數 $4 π$ 。

如，國際單位制中的庫倫平方反比方程式為 $F = q 1 q 2 /4 πεr 2$ 。當設 $ε = 1$ 時，即可得到採用勞侖茲-黑維塞單位制時的形式： $F = q 1 q 2 /4 πr 2$ 。高斯單位制下的方程式分母不含 $4 π$ 。

當在採用勞侖茲-黑維塞單位制時，設定 $c = 1$ ，即可得到採用國際單位制設定 $ε = μ = c = 1$ 時的方程式形式：

\nabla \cdot \mathbf {E} =\rho \,

\nabla \cdot \mathbf {B} =0\,

\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,

\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {J} \,

\mathbf {F} _{q}=q(\mathbf {E} +\mathbf {v} _{q}\times \mathbf {B} )\,

註釋

^ 這個量會在國際單位制中用到。但在高斯單位制與勞侖茲-黑維塞單位制中，由於其數值為1，因而常常被忽略。
^ 與真空電容率類似，真空磁導率會在國際單位制中用到，但在高斯單位制與勞侖茲-黑維塞單位制中則常常被忽略。

參考資料

^ ^1.0 ^1.1 ^1.2 Littlejohn, R. Gaussian, SI and Other Systems of Units in Electromagnetic Theory (PDF). Physics 221A, University of California, Berkeley lecture notes. 2011 [2008-05-06]. （原始內容存檔 (PDF)於2015-12-11）（英語）.
^ Silsbee, Francis. Systems of Electrical Units (PDF). JOURNAL OF RESEARCH of the National Bureau of Standards- C. Engineering and Instrumentation. 1962, 66C (2): 137–183 [2016-07-26]. doi:10.6028/jres.066C.014. （原始內容存檔 (PDF)於2021-04-05）（英語）.
^ Kowalski, L. A short history of the SI units in electricity. The Physics Teacher. 1986, 24 (2): 97–99. doi:10.1119/1.2341955. （原始內容存檔於2009-04-29）（英語）.

外部連結

J·B·卡爾弗特對於勞侖茲-黑維塞單位所做的講解（英文）

[4] 這個量會在國際單位制中用到。但在高斯單位制與勞侖茲-黑維塞單位制中，由於其數值為1，因而常常被忽略。

[5] 與真空電容率類似，真空磁導率會在國際單位制中用到，但在高斯單位制與勞侖茲-黑維塞單位制中則常常被忽略。

[Littlejohn-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Littlejohn, R. Gaussian, SI and Other Systems of Units in Electromagnetic Theory (PDF). Physics 221A, University of California, Berkeley lecture notes. 2011 [2008-05-06]. （原始內容存檔 (PDF)於2015-12-11）（英語）.

[2] Silsbee, Francis. Systems of Electrical Units (PDF). JOURNAL OF RESEARCH of the National Bureau of Standards- C. Engineering and Instrumentation. 1962, 66C (2): 137–183 [2016-07-26]. doi:10.6028/jres.066C.014. （原始內容存檔 (PDF)於2021-04-05）（英語）.

[Kowalski-3] Kowalski, L. A short history of the SI units in electricity. The Physics Teacher. 1986, 24 (2): 97–99. doi:10.1119/1.2341955. （原始內容存檔於2009-04-29）（英語）.

[1]

[2]

[3]

[a]

[b]