無條件收斂

在數學中，一個級數$\scriptstyle \sum _{i\in {\mathcal {I}}}a_{i}$無條件收斂於一個特定值$\beta$，是指對任意小的差別$\epsilon$，都會存在$\scriptstyle {\mathcal {I}}$中的一個子集$\scriptstyle {\mathcal {S}}$，使得對所有的包含$\scriptstyle {\mathcal {S}}$的集合$\scriptstyle {\mathcal {T}}$，裏面的元素加起來的和與$\beta$之間的差距都小於$\epsilon$。

$\left|\sum _{i\in {\mathcal {T}}}a_{i}-\beta \right|\leq \epsilon$

當集合$\scriptstyle {\mathcal {I}}$是可數集合的時候，無條件收斂等價於說「任意排列級數項的順序都會收斂」，具體來說。一個級數$\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}$無條件收斂於一個特定值$\beta$，若且唯若對任意的從自然數到自然數的置換$\sigma$，級數$\sum _{n=1}^{\infty }x_{\sigma (n)}$都收斂。

當$\scriptstyle {\mathcal {I}}$是不可數的集合時，無條件收斂也稱為網收斂。

定義

設$X$為一個拓撲向量空間，$I$為一個指標集，滿足對任意$i\in I$，$x_{i}\in X$。

級數$\textstyle \sum _{i\in I}x_{i}$被稱為無條件收斂到$x\in X$的，如果：

• 指標集$I_{0}:=\{i\in I:x_{i}\neq 0\}$是可數集；
• 任意$I_{0}:=\{i\in I:x_{i}\neq 0\}$的排列滿足下列關係：$\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}=x$.

與絕對收斂的關係

無條件收斂是定義在裝備了距離的賦范向量空間中定義的。在賦范向量空間中還有另外一類收斂，稱為絕對收斂。絕對收斂的定義是：一個級數$\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}$絕對收斂，若且唯若實數列：

$\sum _{n=1}^{\infty }\|x_{n}\|$

收斂。

對於通常的實數級數或複數級數，無條件收斂和絕對收斂是等價的。在一般的有限維的巴拿赫空間中，兩者也是等價的概念。而對於更一般的情況，絕對收斂能夠推出無條件收斂，但反之無條件收斂並不能推出絕對收斂。

參見

• 收斂
• 絕對收斂
• 條件收斂

參考來源

• Ch. Heil: 基底理論入門 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• 張賢科,許甫華. 《高等代数学》. 清華大學出版社. 2004. ISBN 978-7-302-08227-9. 
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