在測度論[註 1]裏,若說一個性質為幾乎處處成立,即表示不符合此性質的元素組成的集合為一零測集,即其測度等於零的集合。當使用在實數的性質上時,若沒有另外提起則假定為勒貝格測度。[註 2]
一個有全測度的集合是一個其補集為零測度的集合。
除了說一個性質幾乎處處成立之外,偶爾亦可以說一個性質是對幾乎所有元素成立的,即使幾乎所有這一詞有着其他的意義。
下面是包含有「幾乎處處」這一詞的一些定理:
- 若
:
→
為一勒貝格可積函數且
幾乎處處大於零,則
。
- 若
:
→
為一單調函數,則
幾乎處處可微。
- 當
:
→
為勒貝格可積且對所有實數
,
![{\displaystyle \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e35f79e8c4bce06421ca9b54524c5024f765801d)
- 則存在一零集E(根據
)使得若
不在
內,其勒貝格平均
![{\displaystyle {\frac {1}{2\epsilon }}\int _{x-\epsilon }^{x+\epsilon }f(t)\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5aaa4bc8b2b4a8639d52be334734301a3505e54)
- 便會收斂至
,當ε趨向至零時。換句話說,
的勒貝格平均幾乎處處收斂至
。集合E則稱為
的勒貝格集合,且可以證明為零測度的。
- 若
在
上為博雷爾可測的,則對幾乎所有
,函數
→
為博雷爾可測的。
- 一有界函數
:
->
為黎曼可積的,若且唯若其為幾乎處處連續的。
在實分析之外,「幾乎處處」一詞可以用極大濾子定義。例如在超實數的建構中,一個超實數被定義為相對於某一濾子幾乎處處相等的等價類。
在抽象代數及其相關領域中,「幾乎處處」通常指某性質只對給定集合中的有限個元素不成立。
在概率論裏,這一詞變成了「幾乎必然」,「幾乎確定」或「幾乎總是」,相對於一為1的概率。
註釋
參考