基本形式
婆羅摩笈多公式的最簡單易記的形式,是圓內接四邊形面積計算。若圓內接四邊形的四邊長為a, b, c, d,則其面積為:
-
其中s為半周長:
-
證明
圓內接四邊形的面積 = 的面積 + 的面積
-
但由於 是圓內接四邊形,因此 。故 。所以:
-
-
-
-
對 和 利用餘弦定理,我們有:
-
代入 (這是由於 和 是互補角),並整理,得:
-
把這個等式代入面積的公式中,得:
-
-
它是 的形式,因此可以寫成 的形式:
-
-
-
引入 ,
-
兩邊開平方,得:
-
證畢。
更特殊情況
若圓O的圓內接四邊形的四邊長為a, b, c, d,且外切於圓C,則其面積為:
-
證明
由於四邊形內接於圓O,所以:
-
其中p為半周長:
-
又因為四邊形外切圓C,所以:
-
則:
-
同理:
,
,
綜上:
證畢。
一般情況
相關定理
海倫公式給出三角形的面積。它是婆羅摩笈多公式取 的特殊情形。
婆羅摩笈多公式的基本形式和擴充形式,就像由勾股定理擴充至餘弦定理一般。
- ^ J. L. Coolidge, "A Historically Interesting Formula for the Area of a Quadrilateral", American Mathematical Monthly, 46 (1939) pp. 345-347.