克萊恩-戈登方程式

克萊恩-戈登方程式(Klein-Gordon equation)是相對論量子力學量子場論中的最基本方程式,它是薛定諤方程式狹義相對論形式,用於描述自旋為零的粒子。克萊恩-戈登方程式是由瑞典理論物理學家奧斯卡·克萊恩德國人沃爾特·戈登於二十世紀二三十年代分別獨立推導得出的。

陳述

克萊恩-戈登方程式為

 

很多時候會用自然單位c=ħ=1)寫成

 

由於平面波為此方程式已知的一組解,所以方程式形式由它決定:

 

遵從狹義相對論的能量動量關係式

 

跟薛定諤方式不同,每一個k在此都對應着兩個 ,只有通過把頻率的正負部份分開,才能讓方程式描述到整個相對論形式的波函數。若方程式在時間流逝下不變,則其形式為

 

相對論量子力學下的形式推導

自由粒子的薛定諤方程式是非相對論量子力學的最基本方程式:

 

其中 動量算符。

薛定諤方程式並非相對論協變的,意味着它不滿足愛因斯坦狹義相對論

利用狹義相對論中的相對論能量公式   替換薛定諤方程式左邊的動能 項,最終可得它的協變形式:

 

其中 達朗貝爾算符 .

從相對論量子力學的觀點來看,達朗貝爾算符的出現意味着克萊恩-戈登方程式是一個量子力學的波方程式

量子場論下的形式推導

場論中,對於自旋為零的場(純量場),拉格朗日量被寫成

 

這裏依照量子場論的習慣選取了自然單位,將光速 和普朗克常數 都取作1。

代入歐拉-拉格朗日方程式 可直接得到克萊恩-戈登方程式。

從量子場論的觀點來看,以上推導過程都在經典場論的範圍之內,因此克萊恩-戈登方程式只是一個經典場的場方程式

自由粒子解

相對論量子力學中自由粒子只是一個理想化的概念,但形如克萊恩-戈登方程式這樣的波方程式仍然具有形式上的平面波解:

 

其中 

從克萊恩-戈登方程式得出的能量本徵值

 

因而克萊恩-戈登方程式的解包含了負能量。同時,由這個解導出相應的機率密度也不能保證是正值。這兩個問題使得克萊恩-戈登方程式在很長一段時間裏被認為是缺乏物理意義的。英國物理學家保羅·狄拉克為了確保機率密度具有物理意義建立了狄拉克方程式,但這個方程式仍然沒有避免出現負能量。

行波解

克萊恩-戈登方程式有行波解[1]

參見

參考資料

  1. ^ 83.Inna Shingareva, Carlos Lizárraga-Celaya,Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple p64-72 Springer

參考文獻