體積形式

數學中,體積形式提供了函數在不同坐標系(比如球坐標圓柱坐標)下對體積積分的一種工具。更一般地,一個體積元是流形上一個測度

在一個定向n-維流形上,體積元典型地由體積形式生成,所謂體積元是一個處處非零的n-階微分形式。一個流形具有體積形式若且唯若它是可定向的,而可定向流形有無窮多個體積形式(細節見下)。

有一個推廣的偽體積形式概念,對無論可否定向的流形都存在。

許多類型的流形有典範的(偽)體積形式,因為它們有額外的結構保證可選取一個更好的體積形式。在復情形,一個帶有全純體積形式的凱勒流形卡拉比-丘流形

定義

流形M上一個體積形式是處處非0的最高階(n-維流形上的n-形式)微分形式

線叢的語言來說,稱最高階外積 行列式線叢n-形式是它的截面

對不可定向流形,一個體積「偽」形式,也稱為「奇」或「扭曲」的體積形式,可以定義為定向叢的一個處處非0截面;這個定義同樣適用於定向流形。在這種看法下,(非扭曲的)微分形式就是「偶」 n-形式。除非特別地討論扭曲形式時,我們總是略去形容詞「偶」。

第一次明確地引入扭曲微分形式是德拉姆

定向

一個流形具有體積形式若且唯若它可定向,這也可以作為可定向的一個定義。

G-結構的語言中,一個體積形式是一個SL-結構。因為 形變收縮(因為 ,這裏正實數視為純量矩陣),一個流形具有一個SL-結構若且唯若具有一個 -結構,即是一個定向。

線叢的語言中,行列式叢 平凡性等價於可定向性,而一個線叢是平凡的若且唯若它有一個處處非0的截面,這樣又得到,體積形式的存在性等價於可定向性。

對於偽體積形式,一個偽體積形式是一個 -結構,因為  同倫等價(事實上是形變收縮),任何流形都有偽體積形式。類似地,定向叢總是平凡的,所以任何流形都有一個偽體積形式。

和測度的關係

任何流形有一個偽體積形式,因為定向叢(作為線叢)是平凡的。給定一個定向流形上的體積形式ω,密度 |ω| 是忘掉定向結構的非定向流形的一個偽體積形式。

任何偽體積形式ω(從而任何體積形式亦然)定義了一個波萊爾集合上一個測度:

 

注意區別,在於任何一個測度可以在(Borel)子集上積分,而一個體積形式只能在一個「定向」胞腔上積分。在單變量微積分中,寫成 ,將 視為體積形式而不是測度, 表明「在 上沿着定向相反的反向積分」,有時記成 

進一步,一般的測度不必連續或光滑,他們不必由體積形式定義;或更形式地說,關於一個體積形式的Radon-Nikodym導數不必絕對連續

例子

李群

任何李群,可以由平移定義一個自然的體積形式。這就是說,如果ωe 中一個元素,那麼一個左不變形式可以定義為 ,這裏Lg為左平移。作為一個推論,任何李群都是可定向的。這個體積形式在相差一個常數的意義下是惟一的,相應的測度稱為哈爾測度

辛流形

任何辛流形(或更確切地為殆辛流形)有一個自然的體積形式。如果M是一個帶有辛形式ω的2n-維流形,那麼由辛形式非退化可知ωn處處非零。作為一個推論,任何辛流形是可定向的(事實上,已經定向)。

黎曼體積形式

任何黎曼流形(或偽黎曼流形)有一個自然的體積(或偽體積)形式。在局部坐標系下,能寫成表達式:

 

這裏流形為n-維, 是流形上度量張量行列式的絕對值, 為組成流形餘切叢一組基的1形式

這個體積形式有許多不同的記號,包括:

 

這裏∗是霍奇對偶,從而最後一個形式∗(1)強調體積形式是流形上常數映射的霍奇對偶。

儘管希臘字母ω經常用於表示體積形式,但是這個記法很難通用,符號ω在微分幾何中經常有其它意思(比如辛形式),所以一個公式中的ω不一定就表示體積形式。

一個流形如果既是辛的又是黎曼的,如果流形是凱勒的那種方式定義的體積形式相等。

曲面的體積形式

體積形式一個簡單的例子可以考慮嵌入n-維歐幾里得空間中的2-維曲面。考慮子集 ,以及映射函數

 

定義了嵌入到 中的一個曲面。映射的雅可比矩陣

 

指標i從1跑到nj從1跑到2。n-維空間的歐幾里得度量誘導了集合U上的一個度量,度量矩陣分量為:

 

度量的行列式

 

給出,這裏 楔積。對一個正則曲面,這個行列式不為0;等價地,雅可比矩陣的秩為2。

現在考慮U的一個坐標變換,由微分同胚

 

給出。從而坐標  形式表示是 。坐標變換的雅可比矩陣為:

 

在新坐標系下,我們有:

 

從而度量變換為:

 

這裏  是在v坐標系下的度量。行列式:

 .

給出以上構造後,現在可以直接理解為什麼體積在坐標變換下不變的。在2維,體積就是面積。子集 的面積由積分:

 

給出。從而,在任一坐標系下,體積都有相同的表達式,即這個表達式在坐標變換下是不變的。

注意到在以上表達式中2維並沒有任何特殊性,以上結論可以平凡地推廣到任意維數。

體積形式不變性

體積形式不是惟一的,它們以如下方式組成了流形上非0函數上的一個旋子。這是Radon–Nikodym定理的一個幾何形式。

給定M上一個處處函數f,和一個體積形式  也是M上的體積形式。相反地,給定任何兩個體積形式 ,他們的比是一個處處非0函數(如果定向相同為正,定向相反為負)。

在坐標系中,他們都不過是一個處處非0函數乘以勒貝格測度,他們的比就是函數的比,這和坐標系的選取無關。本質上,這是 關於 Radon–Nikodym導數

無局部結構

一個體積形式沒有局部結構:任何兩個體積形式(在相同維數的流形上)是局部同構的。

正式地說,這個結論意味着給定任何兩個同維數的流形 ,分別具有體積形式 ,對任何點 ,存在一個映射 (這裏  的一個鄰域而  的一個鄰域),使得N(限制在鄰域 上)上的體積形式拉回 (限制在鄰域 )上的體積形式: 。給定維數的可微流形是局部微分同胚的;增添的判斷標準是體積形式拉回到體積形式。

在1維情形,可以這樣證明:給定 上一個體積形式 ,定義

 

那麼標準勒貝格測度 通過f:  拉回到 ,實際上, 

高維數時,給定任何一點 ,存在一個鄰域局部同胚於 ,我們可以進行相同的步驟。

整體機構:體積

連通流形M上一個體積形式有一個惟一的整體不變量,即總體積(記作 ),在保持體積形式的映射下不變;總體積可能是無窮,比如 上的勒貝格測度。對於一個不連通流形,任何連通分支的體積是不變量。

用符號表示,如果 是流形的同胚,將 拉回到 ,那麼

 

從而流形具有相同的體積。

體積形式也能在覆蓋映射下拉回,在此情況下將體積乘以纖維基數(形式地說,在纖維上積分)。在無窮重覆蓋(比如 ),有限體積流形上的體積形式拉回到一個無窮體積流形上的體積形式。

反過來,于爾根·莫澤[1]的一個定理指出,對於連通緊流形上兩個體積相等的體積形式  ,存在一個流形的微分自同胚將 拉回到 ,事實上存在由的形成同痕

另見

參考文獻

  1. ^ 存档副本 (PDF). [2008-10-26]. (原始內容存檔 (PDF)於2008-05-09). 
  • Michael Spivak, Calculus on Manifolds, (1965) W.A. Benjamin, Inc. Reading, Massachusetts ISBN 0-8053-9021-9(提供了一個微分幾何的現代理念的初等介紹,只需要一般的微積分背景。)