五引理

在同調代數中，五引理是關於交換圖的一個重要引理。五引理可以被視為兩個相對偶的四引理之組合。此結果不只對阿貝爾範疇成立，也對群範疇成立。

陳述

在任一阿貝爾範疇（例如阿貝爾群或模的範疇）或群範疇中，考慮以下的交換圖：

五引理的敘述是：如果橫列正合，$m,p$ 是同構，$l$ 是滿射而 $q$ 是單射，則 $n$ 是同構。

兩個四引理的敘述是：

(1) 考慮交換圖

若其橫行正合，$m,p$ 是滿射而 $q$ 是單射，則 $n$ 是滿射。

(2) 考慮交換圖

若其橫行正合，$m,p$ 是單射而 $l$ 是滿射，則 $n$ 是單射。

證明

以下採用的證法俗稱「圖追蹤」，它看似繁複，其實習慣後只是例行程序罷了。

為進行圖追蹤，以下假設所論範疇為某個環上的模範疇，因此可以談論對象的元素，並將態射視為模的同態。此時單射、滿射等等性質相應於集合論意義上的性質。根據Mitchell嵌入定理，可導出一般範疇上的情形。

對於群範疇，僅須注意到證明內容未用到群的交換性。

1. 設 $c'\in C'$。
2. 由於 $p$ 是滿射，存在 $d\in D$ 使得 $p(d)=t(c')$。
3. 根據圖的交換性，$u(p(d))=q(j(d))$。
4. 根據正合性， $\mathrm {Im} (t)=\mathrm {Ker} (u)$，故 $0=u(t(c'))=u(p(d))=q(j(d))$。
5. 因為 $q$ 是單射，$j(d)=0$，故 $d\in \mathrm {Ker} (j)=\mathrm {Im} (h)$。
6. 於是存在 $c\in C$ 使得 $h(c)=d$。
7. 遂有 $t(n(c))=p(h(c))=t(c')$。因為 $t$ 是同態，有 $t(c'-n(c))=0$。
8. 根據正合性，$c'-n(c)\in \mathrm {Im} (s)$，故存在 $b'\in B'$ 使得 $s(b')=c'-n(c)$。
9. 因為 $m$ 是滿射，存在 $b\in B$ 使得 $b'=m(b)$。
10. 根據圖的交換性 $n(g(b))=s(m(b))=c'-n(c)$。
11. 因為 $n$ 是同態，$n(g(b)+c)=n(g(b))+n(c)=c'-n(c)+n(c)=c'$。
12. 由此可知 $n$ 是滿射。證畢。

為證明 (2)，在下圖中假設 $m$ 與 $p$ 是單射，而 $l$ 是滿射。

1. 設 $c\in C$ 使得 $n(c)=0$。
2. 於是 $t(n(c))=0$。
3. 根據圖的交換性，$p(h(c))=0$
4. 因為 $p$ 是單射，$h(c)=0$。
5. 根據正合性，存在 $b\in B$ 使得 $g(b)=c$。
6. 根據圖的交換性，$s(m(b))=n(g(b))=n(c)=0$。
7. 根據正合性，存在 $a'\in A'$ 使得 $r(a')=m(b)$。
8. 因為 $l$ 是滿射，存在 $a\in A$ 使得 $l(a)=a'$。
9. 根據圖的交換性，$m(f(a))=r(l(a))=m(b)$。
10. 因為 $m$ 是單射，$f(a)=b$。
11. 故 $c=g(f(a))=0$。
12. 由此可知 $n$ 是單射。證畢。

結合兩個四引理，便可證得五引理。

應用

五引理通常用於長正合序列：在計算一個對象的同調或上同調群時，我們通常利用一個較簡單的子對象，其同調或上同調已知，再配合長正合序列進行計算。長正合序列本身不一定能確定所求的同調或上同調，此時可以試着以態射比較原對象與一個已知的對象，此態射導出長正合序列的鏈映射，此時五引理有助於決定未知的同調或上同調群。

相關主題

• 短五引理：五引理對短正合序列的特例。
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