三維點群

三維空間中,固定一點的等距變換群

幾何學中,三維點群是三維空間中,任何一個固定原點的對稱群。等價的說法是,其為球面的對稱群。此類群皆為正交群子群,即固定原點的全體等距同構組成的,亦可視為全體正交矩陣的乘法群。本身則是全體等距同構的歐氏群的子群。

立體的對稱群必由等距同構組成,反之,要分析等距對稱構成的群,就是分析所有可能的對稱。有界三維立體的全體等距同構,必存在共同的不動點,不妨設其中之一為原點。

立體的對稱群,有時稱為全體對稱群作強調,用以突顯與旋轉群(或真對稱群)的分別。立體的旋轉群是其全體對稱群與三維空間本身的旋轉群之交。立體的旋轉群等於全體對稱群,當且僅當立體具手性英語chirality (mathematics)

三維點群在化學廣泛用於描述分子的對稱,及組成共價鍵分子軌域的對稱。此背景下,也稱分子對稱群

有限考克斯特群是一族特殊的點群,僅由過原點的若干個鏡射生成。階考克斯特群是由個鏡射生成,可以考克斯特-丹金圖英語Coxeter–Dynkin diagram表示。考克斯特符號英語Coxeter notation則改為用方括號和數字描述,並設有其他標記,用以表示旋轉群或其他子群。

群結構

直接歐氏群的子群,其元素皆是直接等距同構,即保持定向的等距變換。僅含保持原點不變的直接等距同構。

則是點反演生成的群直積:(此處點反演以其矩陣表示,即單位矩陣乘上。)

所以,三維空間中,藉點反演,可以得到直接與間接等距變換之間的一一對應,此外,中僅由直接等距變換組成的子群(必包含在中,亦與中含有點反演的子群一一對應。對應關係如下:

例如,若,則;若,則。(定義載於下文。)

若直接等距同構群指數英語Index of a subgroup的子群,則除以上含點反演的子群外,還有另一個對應的子群

含有間接等距變換,但不含點反演。式中視為等同。舉例,而

換言之,是將中的變換,乘上得到。此群作為抽象群與同構。反之,任意對稱群,若有間接等距變換,但無點反演,則可以將所有間接變換反演,而變成旋轉群。等距群的分類(見下文)中,可以用此性質化簡問題。

二維情況下,旋轉循環群皆是正規子群。在三維中,固定旋轉軸,則相應有繞該軸的重循環群,是繞該軸的全體旋轉群的正規子群。此外,由於指數為的子群必正規,中正規,也在中正規。此處是向添加過旋轉軸的反射面生成,而則是向添加與軸垂直的反射面生成。

固定原點的三維等距變換

的等距變換中,固定原點的變換,組成正交群,簡記為。其元素分類如下:

  • 子群中:
    • 單位(恆等變換);
    • 繞過原點某軸的旋轉,且角度不為
    • 繞過原點某軸的旋轉,且角度為
  • 及以上變換但額外乘上點反演(將向量映去),即:
    • 點反演;
    • 繞過原點的某軸,作角度不為的旋轉,後再作一次鏡射,鏡射面過原點,且與旋轉軸垂直;
    • 關於過原點某平面的鏡射。

後三種元素又稱瑕旋轉。(視乎定義,末一種未必算。)

連同平移變換的簡介,見歐幾里得群

共軛

比較兩件立體的對稱類時,原點可以分別選取,即兩件立體的中心不必相同。更甚者,兩件立體具有相同對稱類,意思是其對稱群中為共軛子群,即存在,使

舉例:

  • 兩件立體各僅有鏡射對稱,即使並非關於同一鏡面,仍屬同樣的對稱類;
  • 同樣,若各僅有三重旋轉對稱,即使軸向不同,仍屬同樣的對稱類。

若立體的對稱群有多條旋轉軸或多個鏡面,或兩者皆有,則兩個對稱群同屬一類,當且僅當有另一個旋轉,將前一個對稱群的整個結構,變換成後一個對稱群。(此種旋轉會多於一個,但不會是無窮多個。僅有一條旋轉軸或一個鏡面時,此種旋轉方會有無窮多個。)按定義,上文的不必為旋轉,也可以為鏡射,然而,由於對稱群的結構不具手性,祇需取為旋轉。(但空間群則不然,有空間群具有手性,因為有螺旋變換。)

無窮等距變換群

有許多無窮等距變換群,如繞任意軸轉任意無理角度(即圈數或度數為無理數,或弧度數為的無理數倍)的旋轉,所生成的無窮循環群;若加入繞同一軸的其他旋轉,還可以組成許多非循環的交換群。取不共軸的旋轉,則生成非交換群。一般而言英語Generic property,此等非交換群皆為自由群。僅有特別選取的旋轉,方能得到有限群,否則一般皆是無窮群。

作為拓撲群的子群,上述無窮子群皆非閉子群。以下討論的拓撲閉子群:

無標記特定點的球面,對稱群為
  • 整個球對稱群、
  • 相應的旋轉群
  • 其他無窮等距變換群有五個,皆含有過原點的某軸,繞該軸的所有旋轉,另外可以:
    • 添加或不添加過軸的各鏡面反射,
    • 另添加或不添加過原點與軸垂直的鏡面反射。(共四個)
    • 最後,若以上兩種反射都無添加,則可以只添加兩者的複合,相當於添加與原旋轉軸垂直的軸上的旋轉。(一個)

添加過軸的各鏡面反射的群,不論有否添加過原點與軸垂射的鏡面反射,稱為兩種圓柱對稱性。注意若物理實體有無窮旋轉對稱,則亦必關於過軸的鏡面對稱。

此七個連續群,稱為極限點群居里極限群,得名自最早研究此種群的皮埃爾·居里[1][2]軸向群可以分成七列無窮序列,其極限給出五個軸向極限群(有兩個重複),而則不是軸向群的極限。國際記號中,此七個群記為,次序在下文明確給出。[3]

有限等距變換群

三維空間的對稱中,保持原點不動,等價於保持以原點為球心的球面。關於有限的三維點群,亦可參見球面有限對稱群列表英語List of finite spherical symmetry groups

不別共軛之異,三維有限點群只有:

  • 個無窮列,此七類群中,每個群至多一條旋轉軸有多於兩重旋轉。該些群皆是圓柱面的對稱群(的有限子群),其中圓柱面有限長或無限長是等價的,有時稱為軸向點群(英語:axial point groups)或稜柱點群(英語:prismatic point groups)。
  • 個其他點群,每個有至少兩條至少三重的旋轉軸;也可以等價寫成有至少兩條三重旋轉軸,因為全部七個都有多條三重旋轉軸。若數出其三重以上的旋轉軸,所有可能組合有:
    • 條三重軸、
    • 條三重軸及條四重軸、
    • 條三重軸及條五重軸。

根據晶體學限制定理,僅得很少點群與離散平移對稱英語translational symmetry相容:七列軸向點群中,有個;七個其他點群中,有個,合共個,稱為晶體學點群

七類軸向點群

有七列軸向點群。每列有無窮多個群,各可用正整數標示。每列第個群,含繞某軸的重旋轉,即旋轉,故對應轉一整圈,即不旋轉。七列軸向點群中,四列無其他旋轉軸(稱循環對稱英語Cyclic symmetry in three dimensions),另三列有其他二重旋轉軸(稱二面對稱英語dihedral symmetry)。該些群可以視為二維點群英語point groups in two dimensions添加軸向坐標和關於軸的反射而成,也與帶群英語frieze group相關。[4] 可以將軸向點群理解為帶群的圖案在繞柱面恰好重複次。

下表列出點群的幾種記號:晶體學赫爾曼–莫甘記號分子對稱性熊夫利記號英語Schönflies notation軌形記號英語orbifold notation考克斯特記號英語Coxeter notation。後三者不僅方便讀出群的性質,還與群的階數密切相關。軌形記號同時通用於牆紙群英語wallpaper group帶群英語frieze group。晶體群的僅能取晶體學限制定理),而若移除該限制,則可取任意正整數。七列軸向點群為:

赫-莫 熊夫利英語Schönflies notation 軌形英語orbifold notation 考克斯特英語Coxeter notation 帶群英語Frieze group 抽象結構
群階英語Symmetry number
例子 備註
(圓柱)

node_h2 n node_h2 
p1 循環群
重旋轉對稱

node_h2 2x n node_h4 2x node_h2 
p11g
旋轉反射對稱
勿與抽象對稱群混淆

node_h2 n node_h2 2 node 
p11m

node n node 
p1m1 二面體群
稜錐對稱
生物學又稱雙輻射狀對稱

node_h2 n node_h2 2x node_h2 
p211
二面體對稱英語Dihedral symmetry in three dimensions

node 2x n node_h2 2x node_h2 
p2mg
反稜柱對稱

node n node 2 node 
p2mm
稜柱對稱

對奇數,有抽象群同構

(包括平凡群)及有手性,其他則無手性。

術語水平horizontal, h)與豎直vertical, v)描述反射面的方向,以旋轉軸為豎直,故反射面水平即垂直於與旋轉軸,反射面豎直即包含為旋轉軸。相應下標用字母h和v。

最簡單的非平凡軸向群皆同構於抽象群,但是的不同子群(即不共軛):

  • (等同)——點反演對稱
  • ——二重旋轉對稱
  • (等同)——反射對稱生物學英語Symmetry in biology又稱兩側對稱(英語:bilateral symmetry)。
七條圓柱形帶上,印有不同圖樣,使各自的對稱群等於七列軸向群中,取的情況。

第一組單軸循環群中,的階為(二維情況同樣適用),是由單一個角度為的旋轉生成。若向此群加入一個與軸垂直的鏡面(的反射),則生成,階為。若不加入與軸垂直的鏡面,但加入塊通過軸的鏡面,則得到,階亦為。後者是正稜錐的對稱群。具的典型物體是螺旋槳

若上述兩種鏡面皆加入,則水平鏡面與豎直鏡面相交得到條軸,而鏡射的複合生成繞該些軸的旋轉,故群不再單軸。新群的階為,記為。其旋轉子群為個元素的二面體群,仍有與主(重)旋轉軸垂直的二重旋轉軸,但不再有鏡面。

注意,在二維,包括鏡射,但鏡射也可以視為將不辨前後之別的扁平物體翻轉得到。但在三維,鏡射與翻轉不再相同:群有翻轉但無鏡射。

餘下一類是(或),其有包含主旋轉軸的豎直鏡面,但沒有水平鏡面,取而代之的操作是先水平鏡射,再旋轉是正稜柱雙稜錐的對稱群。則是正反稜柱的對稱群,亦是正偏方面體的對稱群。最後,是稍稍扭過的正稜柱的對稱群。

較特殊,因為並無特別的主旋轉軸:三條互相垂直的旋轉軸皆為二重軸。是下節所有多面體對稱群的子群,而則是多面體群的子群。可以作為下列化學品的對稱群:

的元素,與利普希茨四元數英語Lipschitz quaternion可逆元表示的旋轉,有一對二的關係。

由「先關於水平面作鏡射,再旋轉」生成。對於奇數,是等於前述兩個操作分開執行,生成的群,階為,故不必用到記號。然而,對偶數,兩個群有差異,且僅有個元素。與類似,其包含若干瑕旋轉,但不包含對應的旋轉。

七列軸向群的元素僅有下列四對重複:

  • :階數為,由獨一個鏡射生成。又稱
  • :階數為,由獨一個旋轉生成。
  • :階數為,由一個鏡射與鏡面上一條軸的旋轉生成。
  • :階數為,由一個鏡射與一條垂直於鏡面的軸的旋轉生成。

是由獨一個點反演生成的階群,又記為

此處「重複」是指作為的子群共軛,是強於作為抽象群代數同構的條件。例如,前一種意義下,有三個不同的階群,但只有一個階抽象群。類似,也有抽象同構。

群的構造亦可描述如下:

  • 是由獨一個元素生成,生成元亦稱為,是繞軸轉。群的元素是:(單位元),,對應旋轉角。該軸視為豎直軸。
  • 由獨一個元素生成,其中是水平面的鏡射。群的元素是的元素,另加
  • 與反射生成。群的元素是的元素,另加
  • 與豎直鏡面的反射生成。群的元素是的元素,另加
  • 是由與繞水平面上某軸的旋轉,其元素是的元素,另加
  • 由元素生成。元素是的元素,加上的額外元素,再加上
  • 由元素生成。其元素為的元素,再加上的所有額外元素。

趨向的極限,則得到連續軸向群(或無窮階軸向群):

赫-莫 熊夫利英語Schönflies notation 軌形英語orbifold notation 考克斯特英語Coxeter notation 是何序列的極限 抽象群
node_h2 infin node_h2 
node 2 node_h2 infin node_h2 
node infin node 
node_h2 2x node_h2 infin node_h2 
node 2 node infin node 

七個其他點群

餘下七個點群又稱為高度對稱或多面體對稱,因為有多於一條旋轉軸的重數大於二。下表中,表示一條重軸,即旋轉角為則表示同樣旋轉角的瑕旋轉軸。所用記號,首先是字母表示的熊夫利記號英語Schönflies notation,然後括號內為軌形記號英語orbifold notation,然後為考克斯特記號英語Coxeter notation及圖,最後是赫爾曼–莫甘記號及倘有的簡寫。


node_h2 3 node_h2 3 node_h2 

階為
手性四面體對稱英語tetrahedral symmetry 有四條軸,是立方體的四條體對角線,也可以看成正四面體四個頂點分別到對面中心的連線。另有三條軸,是立方體三組對面的中心連線,也是正四面體三組對邊的中點連線。同構交錯群,即四個元素的偶排列的群。本群為正四面體的旋轉群,也是及以下兩種八面體對稱群的正規子群。本群的個元素,與赫維茲四元數英語Hurwitz quaternion可逆元,有一對二的關係,而後者又稱為二元四面體群英語binary tetrahedral group

node 3 node 3 node 

階為
全四面體對稱 本群與有相同的旋轉軸,但另有六塊鏡面,每塊經過立方體的兩條不在同一面的平行邊,也是正四面體六條稜各自的垂直平分面。每塊鏡面包含一條軸,兩條軸。原軸,加入鏡射後,變成軸。本群是正四面體的對稱群。同構於個元素的對稱群,因為的元素,會將軸重新排列,而元素與此四條軸的排列一一對應。若一件物體繞其中一條三重軸,有對稱,則在作用下,軌道有四件同樣的物體,就對應此四件物體的排列的集合。的正規子群。

node_h2 3 node_h2 4 node 

階為
五角十二面體對稱
排球的縫線有。(立方五角十二面體
本群與的旋轉軸相同,另有與立方體的面平行的鏡面。四條軸變成軸,並有關於中心的反演對稱。同構於(因為皆是正規子群),而與對稱群不同構。若在立方體的每個面上,各畫一條線段,將該面分成兩個全等的長方形,且使得新增的線段不會相交於稜上,則所得的圖形的對稱群為。該些對稱是:立面體四條體對角線的偶排列,及該等偶排列與中心反演的複合。本群亦是五角十二面體的對稱群。五角十二面體與前述的(面經分割的)立方體類似,但其中每個長方形換成有四邊等長,具一條對稱軸的五角形,而五角形餘下一條不同長度的邊,對應立方體的面上新增的線段。換言之,可以想像立方體的面在分割線隆起,並在該處變窄(即分割線變短)。本群為全二十面體對稱群的子群(但不正規),且是作為等距變換群的子群,而不僅是抽象子群。全二十面體對稱群有十條三重軸,而本群有其中四條。本群亦為的正規子群。雖然記作,本群並非任何四面體(英語:Tetrahedron)的對稱群。

node_h2 4 node_h2 3 node_h2 

階為
手性八面體對稱英語octahedral symmetry 本群與類似,但各軸現改成軸,並有額外六條軸,是過正方體中心與(六對)稜中點的直線。本群與同構,因為其元素與四條三重軸的個排列一一對應,與類似。若物體繞某條三重軸有對稱,則在作用下,軌道有四件同樣的物體,而的元素也一一對應此四件物體的排列。本群是立方體正八面體的旋轉群。若用四元數表示旋轉,則對應赫維茲四元數英語Hurwitz quaternion可逆元及範數平方為利普希茨四元數英語Lipschitz quaternion,各除以。與類似,此為一對二的關係。

node 4 node 3 node 

階為
全八面體對稱 本群與有同樣的旋轉軸,但也有鏡射,有齊的所有鏡面。本群同構於(因為皆為正規子群),且是立方體正八面體的對稱群。見八面體對稱英語octahedral symmetry

node_h2 5 node_h2 3 node_h2 

階為
手性二十面體對稱英語icosahedral symmetry 本群為正二十面體正十二面體的旋轉群,亦是全正二十面體對稱群指標英語index of a subgroup正規子群。本群的子群中,有十個與六個(即稜柱或反稜柱的旋轉群)。本群也包含五個子群(見五複合正四面體)。抽象而言,同構交錯群,因為其元素作用在五個子群上,與其偶排列一一對應。等價地,可以考慮對前述五複合正四面體的五個單體的作用。以四元數表示旋轉,則對應二十數英語icosian可逆元。與先前一樣,此為一對二的關係。

node 5 node 3 node 

階為
全二十面體對稱 本群為正二十面體與正十二面體的對稱群。與抽象群同構,因為皆是正規子群。本群的子群中,有十個、六個(反稜柱的對稱)、五個

相關的連續群有:

  • 旋轉群,即所有旋轉的群,亦記作
  • 正交群,所有旋轉和鏡射生成的群,亦記作

無窮等距變換群一節所言,任何物理實體,若有對稱性,則必有對稱性。

軌形記號與階

若已知群的軌形記號,則可計算其階數,等於除以軌形英語orbifold歐拉示性數。軌形的歐拉示性數是將減去軌形記號中,各符號特徵數的總和:

  • 或在之前的,值為
  • 之後的,值為
  • 計為

此公式同樣適用於壁紙群英語wallpaper group帶群英語frieze group:對該等群,特徵數之和為,所以階數是無窮大。亦見壁紙群英語wallpaper group條目。

反射考克斯特群

三維考克斯特群的基本域
node 3 node 3 node  node 4 node 3 node  node 5 node 3 node 

塊鏡

塊鏡

塊鏡
node 2 node  node 2 node 2 node  node 2 node 3 node 

塊鏡

塊鏡

塊鏡
node  node 2 node  node 3 node 

塊鏡

塊鏡

塊鏡

三維反射點群又稱為考克斯特群,能以考克斯特-鄧肯圖英語Coxeter-Dynkin diagram表示,是交於同一個中心點的若干鏡面反射生成的群。該些鏡面將球面分割成球面三角形區域。若考克斯特群能以少於三個鏡射生成,則該球面三角形退化,變成球面二角形英語lune (mathematics)半球面。在考克斯特記號英語Coxeter notation,該些群是正四面體對稱英語tetrahedral symmetry正八面體對稱英語octahedral symmetry正二十面體對稱英語icosahedral symmetry二面體對稱英語Dihedral symmetry in three dimensions。不可約群的鏡面數是,其中是群的考克斯特數英語Coxeter number,而是反射方向的秩(維數),等於符號的下標。[5]

熊夫利記號英語Schönflies notation 考克斯特-
鄧肯圖標籤
考克斯特記號英語Coxeter notation 群階 考克斯特數英語Coxeter number
鏡數
多面體群英語Polyhedral group
node 3 node 3 node 
node 4 node 3 node 
node 5 node 3 node 
二面體群英語Dihedral symmetry in three dimensions
node 2 node 
node 2 node 2 node 
node p node 2 node 
循環群英語Cyclic symmetry in three dimensions
node 2 node 
node p node 
單鏡面
node 

旋轉群

有限旋轉群,即的有限子群,僅有:循環群(正稜錐的旋轉群)、二面體群(正稜柱雙錐體的旋轉群)、正四面體的旋轉群)、正八面體正六面體的旋轉群)、正二十面體正十二面體的旋轉群)。

特別地,二面體群等,是平面正多邊形嵌入到三維空間後的旋轉群。此種薄片也可以視為退化的正稜柱,或稱為二面體,二面體群因而得名。

  • 若物體的對稱類為,則旋轉群為
  • 若物體的對稱類為,則旋轉群為
  • 若物體的對稱類屬其他七種多面體對稱,則旋轉群是相應無下標的群,即之一。

當且僅當物體有手性英語chirality (mathematics)時,其旋轉群等於整個對稱群。換言之,手性物體就是對稱群在旋轉群列表中的物體。

熊夫利記號英語Schönflies notation考克斯特記號英語Coxeter notation,及括號內的軌形記號英語orbifold notation表示,旋轉群是:

反射英語Reflectional symmetry 反射/旋轉 瑕旋轉 旋轉

旋轉群與其他群的對應

下列群有點反演

  • 為偶數時,
  • 為奇數時,(特別地,是僅由點反演生成的群,另有屬於前項)、

上文所述,此種群與所有旋轉群之間,有一一對應:

  • 為偶)及為奇)對應
  • 為偶)及為奇)對應
  • 分別對應

下列群具有間接(不保定向)的等距變換,但無點反演:

  • 為奇數時,
  • 為偶數時,

上述各群分別對應一個旋轉群及其指標的子群,使得該群是由的元素,加上經點反演後的元素得到,如上文所述:

  • 的指標子群,對應
  • 的指標子群,為奇時對應為偶時則對應
  • 的指標子群,為奇時對應為偶時對應
  • 的指標子群,對應

極大對稱群

離散點群中,並非任何其他離散點群的真子群,故謂極大。其公共子群中,最大的是。由此,可以將二重旋轉對稱改成四重而得,亦可加入五重旋轉對稱而得

類似地,有兩個晶體學點群並非任何其他晶體學點體的真子群:。視乎方向,其極大公共子群為

按抽象群同構分類

下列若干個表,將前述諸群,按抽象群同構分類。

最小幾個不能表示成三維對稱群的抽象群為:階的四元群階的階的雙循環群英語dicyclic group,以及十四個階群的其中十個。

下表中,「階元素數」一列,數算三類等距變換子群的總數,是有助分辨抽象群類型的特徵數,而該總數之內,各類等距變換子群的數目,則有助辨別屬同一類抽象群的不同等距變換群。

循環群

旋轉對稱對稱群。其抽象同構類是循環群,亦可記作。然而,另有兩列對稱群同構於循環群:

  • 對於偶階數瑕旋轉(熊夫利記號),生成元為繞某軸的旋轉後關於與軸垂直的鏡面反射。也記為,由點反演生成。
  • 對於奇數,有階數的群。該群有一條重旋轉軸,另有與該軸垂直的鏡射。換言之,群由兩種變換生成,即繞軸的旋轉,及該鏡射。又可記作,僅由一個鏡射生成。

故可總結出下表:(十個循環晶體學點群以粗體標出,其滿足晶體學限制。)

階數 等距變換群 抽象群 階元素數 環圖

二面群

二維二面體群有旋轉和反射,但二維反射亦可視為在三維空間中,將不區分正反面的薄片翻轉。

然而在三維,反射與翻轉須作區分。以表示的對稱群,有條二重軸,與重的主旋轉軸垂直,但無反射。稜柱正雙角錐角反稜柱方偏方面體旋轉群。若略作改動,如在每面加上相同的手性英語chirality (mathematics)標記,或稍為改變形狀,則可以使物體具有手性,從而令為其全對稱群。

相應的抽象群類型是二面體群,亦可照樣記為。但除外,還有三個無窮序列的對稱群,同構於二面體群:

  • ,階為,是稜錐的對稱群;
  • ,階為,是角反稜柱的對稱群;
  • 對應奇數的群,其階為。當時,等同,已於上文討論,故此處可取

注意有以下同構:

於是可以整理出下表:(有個晶體學點群用粗體標示,另寫成等價的

階數 等距變換群 抽象群 階元素數 環圖

其他

的階數為,同構於抽象群。在時,等同,已於上小節討論,故本小節僅考慮的情況。

此系列的群可以整理成下表:(其中兩個晶體學點群以粗體強調)

階數 等距變換群 抽象群 階元素數 環圖


的階數為,同構於抽象群。對於奇數,已於上小節討論,故此處僅考慮階數為的群,其抽象群類別為。(

此系列的群可以整理成下表:(其中三個晶體學點群以粗體強調)

階數 等距變換群 抽象群 階元素數 環圖
 
 

餘下七個多面體群是:(其中五個晶體學點群以粗體強調)

階數 等距變換群 抽象群 階元素數 環圖

基本域

四角化菱形三十面體
二十面體對稱英語icosahedral symmetry的反射面與單位球面交於若干大圓,將球面分成球面直角三角形基本域

點群的基本域錐體。若物體有給定的對稱群,則指明物體的某一個基本域變換至哪個基本域,就足以確定該變換。另外,僅從該件物體在一個基本域內的形狀,就足以確定整件物體的形狀。若物體是曲面,則可由其被一個基本域截得的部分確定,該部分亦是(有邊界的)曲面,下稱「基本面」,延伸至基本域的徑向邊界面(即錐體的側面)。但是,若基本面與其他基本面(即基本面在其他基本域的複製),兩者的邊界未能貼合,則需要添加徑向的面或其他曲面,以使各基本面連接成一個整體。若基本面以反射面為界,則必然貼合。

基本面可以取為任意平面被基本域所截的部分,如此得到一個多面體,具有給定的對稱群,如四角化菱形三十面體的每一個面,即為全二十面體對稱英語icosahedral symmetry的一個基本面。若調整該面的方向,則有時可以使相鄰的若干個基本面共面,而合併成同一個面,得到具同樣對稱群的其他多面體,如正十二面體正二十面體。若基本面的邊界能夠貼合,且基本面的法向量是在基本域內,則所得的多面體為凸多面體。

基本面也可以取為其他形狀,不必在同一平面內,例如可取為若干個不同平面的區域連接而成的曲面。

二元多面體群

考慮三維旋量群到旋轉群的二重覆疊投映。由於已是單連通,故為僅有的非平凡連通覆疊。

子群的對應英語Correspondence theorem (group theory)的子群(即旋轉點群)之間有伽羅瓦連接子群投映到,必為旋轉子群,而反之,旋轉子群的原像亦必為是的子群。注意可以等價描述成特殊酉群,或是單位四元數群,亦屬李群,拓撲上同胚三維球面

有限點群的原像稱為二元多面體群,記作,與多面體群英語polyhedral group對應,而名稱則是相應點群的名稱加上「二元」前綴,階數為點群階數的兩倍。例如,二十面體群英語icosahedral group的原像,便是二元二十面體群英語binary icosahedral group

二元多面體群為:

該些群能按ADE分類英語ADE classification,而在二元多面體群作用下的商空間,是杜瓦爾奇點英語Du Val singularity[6]

對於不保定向的點群,情況較複雜,因為有兩個Pin群,所以對應給定的點群,有兩個可能的二元群。

注意前述「覆疊」僅是群的覆疊,而不是多面體空間的覆疊:球面本身單連通,並無非平凡覆疊。所以,並無所謂「二元多面體」覆疊原有的多面體。二元多面體群是旋量群的離散子群,所以若選定旋量群的表示,作用於一個向量空間,則該二元多面體群在該表示下,可能將某個多面體映到自身,例如在映射下,二元多面體群作用為旋轉,與底下的(非二元)群是同一個多面體的等距變換,然而,在旋量表示英語spin representation或其他表示下,二元多面體群可以作用在不同的多面體上。

二元多面體群不是射影多面體英語projective polyhedra的對稱群。球面確實覆疊射影空間(以及透鏡空間英語lens space),故可以考慮射影空間的密鋪,視之為另一種「多面體」,即射影多面體,但是,考慮二元多面體群時,並非取多面體所覆疊的空間,而是取覆疊對稱群的群,所以兩件事不相同。

參見

參考文獻

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