閉圖像定理是數學中泛函分析的一條定理。
設 X {\displaystyle X} ， Y {\displaystyle Y} 為巴拿赫空間， T : X → Y {\displaystyle T:X\to Y} 為線性算子。定義 T {\displaystyle T} 的圖像為 X × Y {\displaystyle X\times Y} 的子空間
賦予 X × Y {\displaystyle X\times Y} 範數 ‖ ( x , y ) ‖ X × Y = ‖ x ‖ X + ‖ y ‖ Y {\displaystyle \|(x,y)\|_{X\times Y}=\|x\|_{X}+\|y\|_{Y}} ，使得 X × Y {\displaystyle X\times Y} 成為巴拿赫空間。那麼，這定理指 T {\displaystyle T} 是連續的（與有界等價）當且僅當 Γ ( T ) {\displaystyle \Gamma (T)} 在 X × Y {\displaystyle X\times Y} 內是閉集。
閉圖像定理可以從開映射定理推導出來。
Γ ( T ) {\displaystyle \Gamma (T)} 是閉集的充分必要條件是如果序列 { ( x n , y n ) } n ⊂ Γ ( T ) {\displaystyle \{(x_{n},y_{n})\}_{n}\subset \Gamma (T)} （即對任意 n {\displaystyle n} 有 y n = T ( x n ) {\displaystyle y_{n}=T(x_{n})} ），而 ( x n , y n ) → ( x , y ) {\displaystyle (x_{n},y_{n})\to (x,y)} ，那麼 ( x , y ) ∈ Γ ( T ) {\displaystyle (x,y)\in \Gamma (T)} ， y = T ( x ) {\displaystyle y=T(x)} 。如果 T {\displaystyle T} 是連續的，從連續性立刻可知 Γ ( T ) {\displaystyle \Gamma (T)} 是閉集，因為連續性是更強的條件：如果 x n → x {\displaystyle x_{n}\to x} ，則 T ( x n ) → T ( x ) {\displaystyle T(x_{n})\to T(x)} 。
如果 Γ ( T ) {\displaystyle \Gamma (T)} 是閉集，可以在 Γ ( T ) {\displaystyle \Gamma (T)} 定義線性算子
顯然 ‖ π 2 ( x , y ) ‖ Y = ‖ y ‖ Y ≤ ‖ ( x , y ) ‖ X × Y {\displaystyle \|\pi _{2}(x,y)\|_{Y}=\|y\|_{Y}\leq \|(x,y)\|_{X\times Y}} ，因此 π 2 {\displaystyle \pi _{2}} 是有界算子。
Γ ( T ) {\displaystyle \Gamma (T)} 是巴拿赫空間 X × Y {\displaystyle X\times Y} 中的閉子空間，所以 Γ ( T ) {\displaystyle \Gamma (T)} 是巴拿赫空間。 X {\displaystyle X} 也是巴拿赫空間， π 1 {\displaystyle \pi _{1}} 是雙射，從而由開映射定理的系可知，其逆 π 1 − 1 : X → Γ ( T ) {\displaystyle \pi _{1}^{-1}:X\to \Gamma (T)} 為有界算子。
因為 T = π 2 ∘ π 1 − 1 {\displaystyle T=\pi _{2}\circ \pi _{1}^{-1}} ，故 T {\displaystyle T} 也是有界的。
從這定理可得出黑林格-特普利茨定理──希爾伯特空間上處處定義的對稱線性算子是有界的。
阿爾澤拉-阿斯科利定理 • 貝爾綱定理 • 巴拿赫-阿勞格魯定理 • 巴拿赫-馬祖爾定理 • 開映射定理 • 一致有界性原理 • 閉圖像定理 • 哈恩-巴拿赫定理 • 拉克斯-米爾格拉姆定理
是閉集的充分必要條件是如果序列
（即對任意
有
），而
，那麼
，
。如果
是連續的，從連續性立刻可知 是閉集，因為連續性是更強的條件：如果
，則
。
是閉集，可以在 定義線性算子
，
。
，因此
是有界算子。
是巴拿赫空間
中的閉子空間，所以 是巴拿赫空間。
也是巴拿赫空間，
是雙射，從而由開映射定理的系可知，其逆
為有界算子。
，故 也是有界的。
